В треугольнике АВС АС = BC, AB = 2, tgA= 5/√20. Найдите те АС.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Анализируем условие. В треугольнике АВС известно, что АС = BC, значит, треугольник АВС — равнобедренный. Также дано AB = 2 и tgA = \( \frac{5}{\sqrt{20}} \).
2. Шаг 2: Упрощаем значение tgA. \( \sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5} \). Следовательно, \( tgA = \frac{5}{2\sqrt{5}} = \frac{5\sqrt{5}}{2 \cdot 5} = \frac{\sqrt{5}}{2} \).
3. Шаг 3: В равнобедренном треугольнике АВС, где АС = BC, углы при основании равны, то есть \( \angle A = \angle B \).
4. Шаг 4: Опускаем высоту CD из вершины C на основание AB. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой и биссектрисой. Следовательно, CD делит AB пополам: AD = DB = \( \frac{AB}{2} = \frac{2}{2} = 1 \).
5. Шаг 5: Рассмотрим прямоугольный треугольник ADC. В нем \( tgA = \frac{CD}{AD} \).
6. Шаг 6: Подставляем известные значения: \( \frac{\sqrt{5}}{2} = \frac{CD}{1} \). Отсюда находим длину высоты CD: \( CD = \frac{\sqrt{5}}{2} \).
7. Шаг 7: Теперь используем теорему Пифагора для прямоугольного треугольника ADC: \( AC^2 = AD^2 + CD^2 \).
8. Шаг 8: Подставляем значения AD и CD: \( AC^2 = 1^2 + (\frac{\sqrt{5}}{2})^2 = 1 + \frac{5}{4} = \frac{4}{4} + \frac{5}{4} = \frac{9}{4} \).
9. Шаг 9: Находим длину стороны АС, извлекая квадратный корень: \( AC = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2} \).

Ответ: \( \frac{3}{2} \)