В треугольнике АВС АС = ВС, АВ = 15, АН — высота, ВН = 6. Найдите косинус угла ВАС.

Решение:

В треугольнике ABC AC = BC, значит, треугольник равнобедренный. AH — высота, проведенная к стороне BC. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой и биссектрисой. Однако, AH здесь — высота к боковой стороне, а не к основанию.

Так как AH — высота, то \( \angle AHB = 90^{\circ} \). В прямоугольном треугольнике ABH:

1. Найдем длину гипотенузы AB: \( AB = 15 \) (дано).
2. Найдем длину катета BH: \( BH = 6 \) (дано).
3. По теореме Пифагора найдем длину катета AH: \[ AH^2 + BH^2 = AB^2 \] \[ AH^2 + 6^2 = 15^2 \] \[ AH^2 + 36 = 225 \] \[ AH^2 = 225 - 36 \] \[ AH^2 = 189 \] \[ AH = \sqrt{189} = \sqrt{9 \cdot 21} = 3\sqrt{21} \]
4. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ABC. Мы знаем, что AC = BC.
5. По теореме Пифагора для треугольника ABC, где AB — основание: \[ AC^2 + BC^2 = AB^2 \] Так как AC = BC, то \[ 2AC^2 = 15^2 \] \[ 2AC^2 = 225 \] \[ AC^2 = \frac{225}{2} \] \[ AC = \sqrt{\frac{225}{2}} = \frac{15}{\sqrt{2}} = \frac{15\sqrt{2}}{2} \]
6. Теперь найдем косинус угла BAC. В треугольнике ABC, косинус угла BAC равен отношению прилежащего катета (AB) к гипотенузе (AC), но это неверно, т.к. ABC — равнобедренный, а мы ищем угол у основания.
7. В прямоугольном треугольнике ABH, косинус угла ABH равен: \[ \cos(\angle ABH) = \frac{BH}{AB} = \frac{6}{15} = \frac{2}{5} \]
8. Так как треугольник ABC равнобедренный (AC = BC), то углы при основании равны: \( \angle BAC = \angle ABC \).
9. Следовательно, \( \cos(\angle BAC) = \cos(\angle ABC) = \cos(\angle ABH) = \frac{2}{5} \).

Ответ: \( \frac{2}{5} \).