30.В треугольнике АВС АС-ВС, высота СН равна 13,5, cosA=\frac{8}{17}. Найдите АС. 31.В треугольнике АВС АС-BC, AB-12, высота АН равна 9. Найдите синус угла ВАС. 32.В треугольнике ABC AB=BC, AC=20, высота СН равна 16. Найдите синус угла АCB.

30. В треугольнике ABC AC=BC, высота CH равна 13,5, cosA=\frac{8}{17}. Найдите АС.

Давай решим эту задачу вместе! Начнем с построения чертежа и анализа условия.

В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, также является медианой и биссектрисой. Но в данном случае нам это не потребуется.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ACH, где угол A - острый, CH - катет (высота), AC - гипотенуза.

Мы знаем, что косинус угла A равен отношению прилежащего катета AH к гипотенузе AC:

\[cosA = \frac{AH}{AC}\]

Выразим AH через AC и cosA:

\[AH = AC \cdot cosA = AC \cdot \frac{8}{17}\]

Теперь применим теорему Пифагора к треугольнику ACH:

\[AC^2 = AH^2 + CH^2\]

Подставим известные значения и выразим AC:

\[AC^2 = (AC \cdot \frac{8}{17})^2 + 13.5^2\] \[AC^2 - (AC \cdot \frac{8}{17})^2 = 13.5^2\] \[AC^2(1 - (\frac{8}{17})^2) = 13.5^2\] \[AC^2(1 - \frac{64}{289}) = 182.25\] \[AC^2(\frac{289 - 64}{289}) = 182.25\] \[AC^2(\frac{225}{289}) = 182.25\] \[AC^2 = \frac{182.25 \cdot 289}{225}\] \[AC^2 = \frac{52670.25}{225}\] \[AC^2 = 234.09\] \[AC = \sqrt{234.09}\] \[AC = 15.3\]

Ответ: 15.3

Ты отлично справился с этой задачей! Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!

31. В треугольнике ABC AC=BC, AB=12, высота AH равна 9. Найдите синус угла BAC.

Разберем эту задачу вместе. У нас есть равнобедренный треугольник ABC (AC = BC), основание AB = 12 и высота AH = 9. Наша цель - найти синус угла BAC.

Сначала найдем BH, так как AH - высота, то треугольник AHB - прямоугольный. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой.

Так как треугольник АВС равнобедренный, то высота АH не является медианой, она проведена к боковой стороне. По теореме Пифагора найдем BH:

\[BH = \sqrt{AB^2 - AH^2} = \sqrt{12^2 - 9^2} = \sqrt{144 - 81} = \sqrt{63} = 3\sqrt{7}\]

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник AHC. Чтобы найти синус угла BAC, нам нужно знать длину стороны BC (или AC, так как они равны).

Выразим AC из теоремы Пифагора для треугольника AHC:

\[AC = BC\] \[BC = \sqrt{AH^2 + HC^2}\]

Чтобы найти HC, заметим, что HC = BC - BH. Тогда:

\[HC = BC - 3\sqrt{7}\]

Подставим это выражение в уравнение для BC:

\[BC = \sqrt{9^2 + (BC - 3\sqrt{7})^2}\] \[BC^2 = 81 + (BC^2 - 6\sqrt{7}BC + 63)\] \[0 = 144 - 6\sqrt{7}BC\] \[6\sqrt{7}BC = 144\] \[BC = \frac{144}{6\sqrt{7}} = \frac{24}{\sqrt{7}} = \frac{24\sqrt{7}}{7}\]

Теперь, когда мы знаем BC, мы можем найти синус угла BAC:

\[sin(BAC) = \frac{AH}{BC} = \frac{9}{\frac{24\sqrt{7}}{7}} = \frac{9 \cdot 7}{24\sqrt{7}} = \frac{63}{24\sqrt{7}} = \frac{21}{8\sqrt{7}} = \frac{21\sqrt{7}}{56} = \frac{3\sqrt{7}}{8}\]

Ответ: \(\frac{3\sqrt{7}}{8}\)

Ты проделал большую работу, решая эту задачу! Не останавливайся на достигнутом, и ты сможешь решить любые математические головоломки!

32. В треугольнике ABC AB=BC, AC=20, высота CH равна 16. Найдите синус угла ACB.

Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC (AB = BC), основание AC = 20, высота CH = 16. Нужно найти синус угла ACB.

Так как треугольник ABC равнобедренный, высота CH, проведенная к основанию AC, также является медианой. Следовательно, AH = HC = \(\frac{AC}{2} = \frac{20}{2} = 10\).

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ACH. Чтобы найти синус угла ACB, нам нужно знать длину стороны BC. Выразим BC из теоремы Пифагора для треугольника CHB:

\[BC^2 = CH^2 + BH^2\] \[BC = \sqrt{CH^2 + BH^2}\]

Так как AB = BC и AH = 10, то:

\[BC = \sqrt{16^2 + 10^2} = \sqrt{256 + 100} = \sqrt{356} = 2\sqrt{89}\]

Теперь мы можем найти синус угла ACB (то есть угла BCH):

\[sin(ACB) = sin(BCH) = \frac{BH}{BC} = \frac{10}{2\sqrt{89}} = \frac{5}{\sqrt{89}} = \frac{5\sqrt{89}}{89}\]

Ответ: \(\frac{5\sqrt{89}}{89}\)

Отлично! Ты уверенно справился с этой задачей. Продолжай тренироваться, и математика станет твоим верным другом!