В треугольнике АВС АВ = 4 см, ВС = 3√2 см, ∠B = 45°. Найдите скалярное произведение векторов ВА и ВС.

Решение:

• Длина вектора \[\overrightarrow{BA}\] равна длине стороны AB: \[|\overrightarrow{BA}| = AB = 4\] см.
• Длина вектора \[\overrightarrow{BC}\] равна длине стороны BC: \[|\overrightarrow{BC}| = 3\sqrt{2}\] см.
• Угол между векторами \[\overrightarrow{BA}\] и \[\overrightarrow{BC}\] равен углу B, который равен 45°.
• Найдем скалярное произведение векторов \[\overrightarrow{BA}\] и \[\overrightarrow{BC}\]: \[\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = |\overrightarrow{BA}| \cdot |\overrightarrow{BC}| \cdot \cos{\angle B} = 4 \cdot 3\sqrt{2} \cdot \cos{45^\circ}\] Так как \[\cos{45^\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2}\], то \[\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = 4 \cdot 3\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 4 \cdot 3 \cdot \frac{2}{2} = 4 \cdot 3 = 12\]