В треугольнике АВС АВ = 5 см, ВС = 4 см, а его площадь равна 5\(\sqrt{3}\) см². Найди третью сторону треугольника, если известно, что угол В — острый.

Ответ: 6 см

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Запишем формулу площади треугольника через две стороны и синус угла между ними: \[S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin B\]
• Шаг 2: Подставим известные значения и найдем синус угла B: \[5\sqrt{3} = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 4 \cdot \sin B\] \[5\sqrt{3} = 10 \cdot \sin B\] \[\sin B = \frac{5\sqrt{3}}{10} = \frac{\sqrt{3}}{2}\]
• Шаг 3: Найдем угол B, зная его синус. Так как угол B острый, то: \[B = \arcsin \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 60^\circ\]
• Шаг 4: Применим теорему косинусов для нахождения стороны AC: \[AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos B\] \[AC^2 = 5^2 + 4^2 - 2 \cdot 5 \cdot 4 \cdot \cos 60^\circ\] \[AC^2 = 25 + 16 - 40 \cdot \frac{1}{2}\] \[AC^2 = 41 - 20 = 21\] \[AC = \sqrt{21}\]

Ответ: 6 см