В треугольнике АВС АВ = 5 см, ВС = 4 см, а его площадь равна 5√3 см². Найди третью сторону треугольника, если известно, что угол В — острый.

Ответ: 3√7

Решение:

• Шаг 1: Запишем формулу площади треугольника через две стороны и синус угла между ними: \[S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin{B}\]
• Шаг 2: Подставим известные значения и найдем синус угла B: \[5\sqrt{3} = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 4 \cdot \sin{B}\] \[5\sqrt{3} = 10 \cdot \sin{B}\] \[\sin{B} = \frac{5\sqrt{3}}{10} = \frac{\sqrt{3}}{2}\]
• Шаг 3: Найдем угол B, зная его синус. Так как угол B острый, то: \[B = \arcsin{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 60^\circ\]
• Шаг 4: Найдем косинус угла B: \[\cos{B} = \cos{60^\circ} = \frac{1}{2}\]
• Шаг 5: Применим теорему косинусов для нахождения третьей стороны AC: \[AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos{B}\] \[AC^2 = 5^2 + 4^2 - 2 \cdot 5 \cdot 4 \cdot \frac{1}{2}\] \[AC^2 = 25 + 16 - 20\] \[AC^2 = 21\] \[AC = \sqrt{21}\]

Ответ: √21