10. В треугольнике АВС АВ = BC = 25, АС = 14. Найдите длину медианы ВМ.

Рассмотрим треугольник ABC, в котором AB = BC = 25 и AC = 14. Медиана BM проведена к стороне AC. Так как AB = BC, треугольник ABC является равнобедренным.

В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, также является высотой и биссектрисой. Следовательно, BM - высота, и треугольник BMA является прямоугольным.

Так как BM - медиана, точка M делит сторону AC пополам. Значит, AM = MC = AC / 2.

$$AM = \frac{14}{2} = 7$$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник BMA. По теореме Пифагора:

$$AB^2 = AM^2 + BM^2$$

Выразим BM^2:

$$BM^2 = AB^2 - AM^2$$

Подставим известные значения:

$$BM^2 = 25^2 - 7^2$$

$$BM^2 = 625 - 49$$

$$BM^2 = 576$$

Найдем BM:

$$BM = \sqrt{576} = 24$$