В треугольнике АВС АВ = ВС, медиана ВМ равна 6. Площадь треугольника АВС равна 12√7. Найдите АВ.

Решение:

В равнобедренном треугольнике \( ABC \) с \( AB = BC \) медиана \( BM \) является также высотой. Следовательно, \( BM \perp AC \).

Площадь треугольника \( ABC \) вычисляется по формуле: \( S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BM \).

Нам известна площадь \( S = 12\sqrt{7} \) и длина медианы (высоты) \( BM = 6 \).

Подставим известные значения в формулу площади:

\[ 12\sqrt{7} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot 6 \]\[ 12\sqrt{7} = 3 \cdot AC \]\[ AC = \frac{12\sqrt{7}}{3} \]\[ AC = 4\sqrt{7} \]

Так как \( BM \) — медиана, она делит сторону \( AC \) пополам:

\[ AM = MC = \frac{AC}{2} = \frac{4\sqrt{7}}{2} = 2\sqrt{7} \]

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник \( AMB \). По теореме Пифагора:

\[ AB^2 = AM^2 + BM^2 \]\[ AB^2 = (2\sqrt{7})^2 + 6^2 \]\[ AB^2 = (4 \cdot 7) + 36 \]\[ AB^2 = 28 + 36 \]\[ AB^2 = 64 \]\[ AB = \sqrt{64} \]\[ AB = 8 \]

Ответ: 8.