В треугольнике АВС биссектриса СМ и высота ВН пересекаются под углом 50°. Найдите угол ВАС, если ∠ABH: ∠CBH = 5:1. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Пусть ∠CBH = x.

Так как ∠ABH : ∠CBH = 5:1, то ∠ABH = 5x.

В прямоугольном треугольнике ∠BHC = 90°.

Сумма углов в треугольнике ∠BCA + ∠CBH + ∠BHC = 180°.

∠BCA + x + 90° = 180°

∠BCA = 90° - x.

В прямоугольном треугольнике ∠AHB = 90°.

Сумма углов в треугольнике ∠BAC + ∠ABH + ∠AHB = 180°.

∠BAC + 5x + 90° = 180°

∠BAC = 90° - 5x.

Так как СМ — биссектриса ∠ACB, то ∠ACM = ∠BCM.

∠BCM = ∠BCA / 2 = (90° - x) / 2 = 45° - x/2.

В треугольнике BMC:

∠BMC = 180° - ∠CBH - ∠BCM = 180° - x - (45° - x/2) = 135° - x/2.

Угол ∠CMB и угол ∠AMC — смежные, их сумма равна 180°.

∠AMC = 180° - (135° - x/2) = 45° + x/2.

Угол ∠HMC = 50°.

∠AMC = ∠AMH + ∠HMC (или ∠AMH - ∠HMC, в зависимости от расположения точек).

В прямоугольном треугольнике AHB: ∠HAB = 90° - 5x.

В прямоугольном треугольнике CHB: ∠HCB = 90° - x.

Рассмотрим пересечение биссектрисы CM и высоты BH. Угол между ними равен 50°. Рассмотрим треугольник BOC, где O — точка пересечения.

∠OBC = x.

∠OCB = ∠BCA / 2 = (90° - x) / 2 = 45° - x/2.

∠BOC = 180° - ∠OBC - ∠OCB = 180° - x - (45° - x/2) = 135° - x/2.

Угол между биссектрисой и высотой может быть выражен формулой:

|∠A - ∠C| / 2 = 50° (в данном случае, если угол между биссектрисой и высотой, проведенными из одной вершины).

Однако, в условии сказано, что биссектриса CM и высота BH пересекаются под углом 50°. Рассмотрим треугольник BOC, где O — точка пересечения.

∠OBC = ∠HBC = x.

∠OCB = ∠MCB = ∠BCA / 2 = (90° - x) / 2 = 45° - x/2.

Угол ∠BOC = 180° - (∠OBC + ∠OCB) = 180° - (x + 45° - x/2) = 135° - x/2.

Вертикальный угол к ∠BOC равен ∠OMH = 135° - x/2. Это не 50°.

Угол между биссектрисой CM и высотой BH, где M лежит на AB и H лежит на AC (или наоборот), равен:

∠CMH = 50°.

Рассмотрим треугольник OHC:

∠OCH = 90° - x.

∠OHC = 90°.

∠COH = 180° - (90° - x) - 90° = x.

Угол ∠OMC = 180° - 50° = 130°.

Рассмотрим треугольник BMC:

∠MBC = x.

∠MCB = 45° - x/2.

∠BMC = 180° - x - (45° - x/2) = 135° - x/2.

Угол ∠CMH = 50°. Тогда ∠BMC = 180° - 50° = 130° (смежный).

130° = 135° - x/2

x/2 = 5°

x = 10°.

Теперь найдем углы треугольника:

∠CBH = x = 10°.

∠ABH = 5x = 50°.

∠ABC = ∠ABH + ∠CBH = 50° + 10° = 60°.

∠BCA = 90° - x = 90° - 10° = 80°.

∠BAC = 90° - 5x = 90° - 50° = 40°.

Проверим сумму углов треугольника ABC: 40° + 60° + 80° = 180°.

Проверим условие про угол между биссектрисой и высотой. Угол между биссектрисой и высотой, проведенными из одной вершины, равен половине разности углов при основании. Но здесь биссектриса и высота не из одной вершины.

Рассмотрим треугольник BOC, где O — точка пересечения CM и BH.

∠OBC = x = 10°.

∠OCB = ∠MCB = ∠BCA / 2 = 80° / 2 = 40°.

∠BOC = 180° - (10° + 40°) = 130°.

Угол между CM и BH равен 50°. Это смежный угол с ∠BOC, то есть 180° - 130° = 50°. Это верно.

Итак, мы нашли:

• ∠CBH = 10°
• ∠ABH = 50°
• ∠BAC = 40°

Ответ: 40