В треугольнике АВС биссектриса СП и высота ВН пересекаются под углом 55°. Найдите угол ВАС, если 2 АBH : 2CBH = 1 : 4. Ответ дайте в градусах.

Question

Вопрос:

В треугольнике АВС биссектриса СП и высота ВН пересекаются под углом 55°. Найдите угол ВАС, если 2 АBH : 2CBH = 1 : 4. Ответ дайте в градусах.

Ответ:

ФИО:Телефон:Емаил:Полное описание сути нарушения прав (почему распространение данной информации запрещено Правообладателем):

Accepted Answer

Краткое пояснение: Для решения задачи используем свойства углов в треугольнике, биссектрисы и высоты, а также соотношение между углами.

Пошаговое решение:

Пусть $$\angle ABH = x$$. Так как $$\angle ABH : \angle CBH = 1 : 4$$, то $$\angle CBH = 4x$$.
В прямоугольном треугольнике ABH, $$\angle BAH = 90^{\circ} - \angle ABH = 90^{\circ} - x$$.
В прямоугольном треугольнике CBH, $$\angle BCH = 90^{\circ} - \angle CBH = 90^{\circ} - 4x$$.
Так как CN — биссектриса, то $$\angle ACN = \angle BCN$$.
В треугольнике BCN, $$\angle BCN = 180^{\circ} - 90^{\circ} - \angle CBN = 90^{\circ} - \angle CBN$$.
Мы знаем, что $$\angle ABC = \angle ABH + \angle CBH = x + 4x = 5x$$.
Из треугольника ABC, $$\angle BAC + \angle ABC + \angle BCA = 180^{\circ}$$.
$$\angle BAC = 90^{\circ} - x$$.
$$\angle BCA = \angle BCN + \angle ACN$$.
Угол между биссектрисой CN и высотой BH равен 55°. Рассмотрим треугольник, образованный их пересечением.
Пусть точка пересечения биссектрисы CN и высоты BH — O. В треугольнике BOK (где K — точка на AC), $$\angle BOK = 55^{\circ}$$.
Рассмотрим треугольник ABH: $$\angle BAH + \angle ABH + \angle AHB = 180^{\circ}$$. Так как BH — высота, $$\angle AHB = 90^{\circ}$$.
$$\angle BAH = 90^{\circ} - \angle ABH = 90^{\circ} - x$$.
Рассмотрим треугольник CBH: $$\angle BCH + \angle CBH + \angle BHC = 180^{\circ}$$. Так как BH — высота, $$\angle BHC = 90^{\circ}$$.
$$\angle BCH = 90^{\circ} - \angle CBH = 90^{\circ} - 4x$$.
В треугольнике ABC: $$\angle BAC + \angle ABC + \angle BCA = 180^{\circ}$$.
$$\angle BAC + (x+4x) + (90^{\circ}-x + 90^{\circ}-4x) = 180^{\circ}$$ (не совсем верно, нужно рассмотреть угол пересечения).
Угол между биссектрисой CN и высотой BH равен $$55^{\circ}$$. Рассмотрим треугольник BOK, где O - точка пересечения. $\angle KOB = 90^{\circ}$. $\angle KBO = \angle CBH = 4x$. $\angle OKB = 90 - 4x$.
В треугольнике BOM (M - точка на AC), $$\angle BOM = 55^{\circ}$$. $\angle MBO = \angle ABH = x$. $\angle BMO = 90 - x$.
Угол между биссектрисой и высотой, исходящими из одной вершины, равен $$|\angle B - 2\angle A|/2$$. Этот угол здесь не применим, так как биссектриса и высота из разных вершин.
Рассмотрим треугольник, образованный пересечением биссектрисы CN и высоты BH. Пусть точка пересечения — O.
В треугольнике BHC, $$\angle HBC = 4x$$, $$\angle BCH = 90 - 4x$$.
В треугольнике AHB, $$\angle HAB = 90-x$$, $$\angle ABH = x$$.
Угол между CN и BH равен 55°. Рассмотрим треугольник BOK, где K - точка на AC. $\angle BKC=90^{\circ}$. $\angle KBC = 4x$.
В треугольнике, образованном пересечением биссектрисы CN и высоты BH, один из углов равен 55°.
Рассмотрим треугольник, в котором пересекаются CN и BH. Пусть точка пересечения — O.
В прямоугольном треугольнике CBH: $$\angle BCH = 90^{\circ} - \angle CBH = 90^{\circ} - 4x$$.
В прямоугольном треугольнике ABH: $$\angle BAH = 90^{\circ} - \angle ABH = 90^{\circ} - x$$.
Угол между биссектрисой CN и высотой BH равен 55°.
Рассмотрим треугольник, в котором пересекаются биссектриса CN и высота BH. Пусть точка пересечения — P.
В треугольнике PBC: $\angle PCB = \angle ACB / 2 = (180^{\circ} - \angle BAC - \angle ABC) / 2 = (180^{\circ} - (90^{\circ}-x) - 5x) / 2 = (90^{\circ} - 4x) / 2 = 45^{\circ} - 2x$.
$\angle CBP = \angle CBH = 4x$.
$\angle BPC = 180^{\circ} - \angle PCB - \angle CBP = 180^{\circ} - (45^{\circ} - 2x) - 4x = 180^{\circ} - 45^{\circ} + 2x - 4x = 135^{\circ} - 2x$.
Угол BPC может быть как 55°, так и 180°-55°=125°.
Если $$\angle BPC = 55^{\circ}$$, то $$135^{\circ} - 2x = 55^{\circ}$$, $$2x = 80^{\circ}$$, $$x = 40^{\circ}$$.
Тогда $$\angle ABC = 5x = 5 imes 40^{\circ} = 200^{\circ}$$, что невозможно для треугольника.
Значит, угол между CN и BH, который мы рассматриваем, не BPC.
Угол между двумя прямыми — это наименьший из двух углов.
Рассмотрим треугольник, образованный точкой пересечения O, вершиной B и точкой на AC (или AB).
Пусть O — точка пересечения BH и CN. В треугольнике BOK (где K лежит на AC), $$\angle BKO = 90^{\circ}$$. $$\angle OBK = \angle CBH = 4x$$. $$\angle BOK = 90^{\circ} - 4x$$.
Угол между BH и CN равен 55°. Это может быть $$\angle BOC = 55^{\circ}$$ или смежный с ним.
Рассмотрим треугольник, в котором пересекаются BH и CN. Пусть точка пересечения — P.
В треугольнике BPC: $$\angle PBC = \angle CBH = 4x$$. $\angle PCB = \angle BCN = \angle ACB / 2$.
В треугольнике ABC: $$\angle BAC = \alpha$$. $$\angle ABC = \beta$$. $$\angle BCA = \gamma$$.
$$\,\alpha + \beta + \gamma = 180^{\circ}$$.
$$\,\angle ABH = \beta_1$$, $$\angle CBH = \beta_2$$. $$\,\beta_1 + \beta_2 = \beta$$. $$\,\beta_1 : \beta_2 = 1:4$$. $$\,\beta_2 = 4\beta_1$$. $$\,5\beta_1 = \beta$$. $$\,\beta_1 = \beta/5$$, $$\,\beta_2 = 4\beta/5$$.
В прямоугольном $$\triangle ABH$$: $$\,\angle BAH = 90^{\circ} - \beta_1 = 90^{\circ} - \beta/5$$.
В прямоугольном $$\triangle CBH$$: $$\,\angle BCH = 90^{\circ} - \beta_2 = 90^{\circ} - 4\beta/5$$.
CN — биссектриса, $$\,\angle ACN = \angle BCN = \gamma/2$$.
Рассмотрим $$\triangle BNC$$: $$\,\angle BNC = 90^{\circ}$$. $$\,\angle CBN = 4\beta/5$$. $$\,\angle BCN = 90^{\circ} - 4\beta/5$$.
Это неверно, так как BH — высота, а CN — биссектриса, они могут не пересекаться под прямым углом.
Рассмотрим $$\triangle ABC$$. $$\,\angle BAC = \alpha$$, $$\,\angle ABC = \beta$$, $$\,\angle BCA = \gamma$$.
$$\beta_1 = \angle ABH$$, $$\,\beta_2 = \angle CBH$$. $$\,\beta_1 + \beta_2 = \beta$$. $$\,\beta_1 = k$$, $$\,\beta_2 = 4k$$. $$\,\beta = 5k$$.
$$\,\angle BAH = 90^{\circ} - k$$.
$$\,\angle BCH = 90^{\circ} - 4k$$.
$$\angle BCN = \gamma/2$$.
Рассмотрим $$\triangle CBH$$. $$\,\angle BCH = 90^{\circ} - 4k$$.
Рассмотрим $$\triangle ABH$$. $$\,\angle BAH = 90^{\circ} - k$$.
Угол между биссектрисой CN и высотой BH равен 55°.
Пусть O — точка пересечения BH и CN.
В $$\triangle BOK$$ (K на AC): $$\,\angle BKO = 90^{\circ}$$. $$\,\angle KBO = \angle CBH = 4k$$. $$\,\angle BOK = 90^{\circ} - 4k$$.
$\angle COB = 180^{\circ} - \angle BOK = 180^{\circ} - (90^{\circ} - 4k) = 90^{\circ} + 4k$.
$\angle COB$ — это угол между CN и BH.
$\angle COB = 55^{\circ}$ или $$\angle COB = 180^{\circ} - 55^{\circ} = 125^{\circ}$$.
Случай 1: $$90^{\circ} + 4k = 125^{\circ}$$. $$\,4k = 35^{\circ}$$. $$\,k = 8.75^{\circ}$$.
Тогда $$\,\beta = 5k = 5 imes 8.75^{\circ} = 43.75^{\circ}$$.
$$\,\angle BAC = \alpha = 180^{\circ} - \beta - \gamma$$.
\(\angle BCH = 90^{\circ} - 4k = 90^{\circ} - 35^{\circ} = 55^{\circ}$$.
$$\,\gamma = 180^{\circ} - \angle BAC - \beta$$.
$$\,\gamma = 180^{\circ} - \alpha - 5k$$.
$\angle BCN = \gamma/2 = (180^{\circ} - \alpha - 5k) / 2 = 90^{\circ} - \alpha/2 - 2.5k$.
Рассмотрим $$\triangle COB$$. $$\,\angle OCB = \angle BCN$$. $$\,\angle OBC = \angle CBH = 4k$$. $$\,\angle COB = 55^{\circ}$$.
$$\,\angle OCB = 180^{\circ} - 55^{\circ} - 4k = 125^{\circ} - 4k$$.
$\gamma/2 = 125^{\circ} - 4k$. $$\,\gamma = 250^{\circ} - 8k$$. Это невозможно.
Случай 2: $$90^{\circ} + 4k = 55^{\circ}$$. Это невозможно, так как 4k > 0.
Значит, мы неправильно определили угол в треугольнике.
Пусть O — точка пересечения BH и CN.
Рассмотрим $$\triangle BOK$$ (K на AC). $$\,\angle BKO = 90^{\circ}$$. $$\,\angle KBO = 4k$$. $$\,\angle BOK = 90^{\circ} - 4k$$.
Угол между BH и CN равен 55°. $\angle BOC = 180^{\circ} - 55^{\circ} = 125^{\circ}$ или $$\angle BOC = 55^{\circ}$$.
$\angle BOC$ и $$\angle BOK$$ — смежные углы.
$\angle BOC = 180^{\circ} - \angle BOK = 180^{\circ} - (90^{\circ} - 4k) = 90^{\circ} + 4k$.
Если $$90^{\circ} + 4k = 125^{\circ}$$, то $$4k = 35^{\circ}$$, $$k = 8.75^{\circ}$$.
\(\angle ABC = 5k = 5 imes 8.75^{\circ} = 43.75^{\circ}$$.
\(\angle BAC = \alpha$$. $$\,\angle BCA = \gamma$$. $$\,\alpha + 43.75^{\circ} + \gamma = 180^{\circ}$$.
\(\angle BAH = 90^{\circ} - k = 90^{\circ} - 8.75^{\circ} = 81.25^{\circ}$$.
\(\angle BCH = 90^{\circ} - 4k = 90^{\circ} - 35^{\circ} = 55^{\circ}$$.
\(\angle BCA = \gamma = 180^{\circ} - \alpha - 43.75^{\circ}$$.
\(\angle BCN = \gamma/2 = (180^{\circ} - \alpha - 43.75^{\circ}) / 2 = 68.125^{\circ} - \alpha/2$$.
В $$\triangle BPC$$ (P - пересечение BH и CN): $$\,\angle PBC = 4k = 35^{\circ}$$. $$\,\angle BCP = \angle BCN$$. $\angle BPC = 55^{\circ}$ (или 125°).
\(\angle BCP = 180^{\circ} - 55^{\circ} - 35^{\circ} = 90^{\circ}$$.
\(\gamma/2 = 90^{\circ}$$. $$\,\gamma = 180^{\circ}$$. Невозможно.
Рассмотрим другую комбинацию углов.
Угол между биссектрисой CN и высотой BH равен 55°.
Пусть $$\angle ABH = x$$, $$\angle CBH = 4x$$.
В $$\triangle ABC$$: $$\,\angle BAC = \alpha$$, $$\,\angle ABC = 5x$$, $$\,\angle BCA = \gamma$$.
$$\alpha + 5x + \gamma = 180^{\circ}$$.
В $$\triangle ABH$$: $$\,\angle BAH = 90^{\circ} - x$$.
В $$\triangle CBH$$: $$\,\angle BCH = 90^{\circ} - 4x$$.
\(\angle BCN = \gamma/2$$.
Рассмотрим $$\triangle BOC$$ (O - пересечение BH и CN).
\(\angle OBC = \angle CBH = 4x$$.
\(\angle OCB = \angle BCN = \gamma/2$$.
$\angle BOC = 55^{\circ}$ (или $$180-55=125$$).
\(\angle BOC = 180^{\circ} - \angle OBC - \angle OCB = 180^{\circ} - 4x - \gamma/2$$.
Случай 1: $$180^{\circ} - 4x - \gamma/2 = 55^{\circ}$$. $$\,125^{\circ} = 4x + \gamma/2$$.
Случай 2: $$180^{\circ} - 4x - \gamma/2 = 125^{\circ}$$. $$\,55^{\circ} = 4x + \gamma/2$$.
Из $$\triangle ABC$$: $$\,\gamma = 180^{\circ} - \alpha - 5x$$.
\(\gamma/2 = 90^{\circ} - \alpha/2 - 2.5x$$.
Подставим в Случай 1: $$125^{\circ} = 4x + (90^{\circ} - \alpha/2 - 2.5x)$$. $$\,125^{\circ} = 1.5x + 90^{\circ} - \alpha/2$$. $$\,35^{\circ} = 1.5x - \alpha/2$$. $$\,70^{\circ} = 3x - \alpha$$. $$\,\alpha = 3x - 70^{\circ}$$.
Подставим в Случай 2: $$55^{\circ} = 4x + (90^{\circ} - \alpha/2 - 2.5x)$$. $$\,55^{\circ} = 1.5x + 90^{\circ} - \alpha/2$$. $$\, -35^{\circ} = 1.5x - \alpha/2$$. $$\, -70^{\circ} = 3x - \alpha$$. $$\,\alpha = 3x + 70^{\circ}$$.
Мы знаем, что $$\angle BAH = 90^{\circ} - x$$. Так как $$\angle BAH = \alpha$$ (это верно, если H на AC, что не всегда так), то $$\,\alpha = 90^{\circ} - x$$.
Подставим $$\,\alpha = 90^{\circ} - x$$ в $$\,\alpha = 3x - 70^{\circ}$$: $$\,90^{\circ} - x = 3x - 70^{\circ}$$. $$\,160^{\circ} = 4x$$. $$\,x = 40^{\circ}$$.
\(\angle ABC = 5x = 200^{\circ}$$. Невозможно.
Подставим $$\,\alpha = 90^{\circ} - x$$ в $$\,\alpha = 3x + 70^{\circ}$$: $$\,90^{\circ} - x = 3x + 70^{\circ}$$. $$\,20^{\circ} = 4x$$. $$\,x = 5^{\circ}$$.
Тогда $$\,\angle ABH = 5^{\circ}$$. $$\,\angle CBH = 4 imes 5^{\circ} = 20^{\circ}$$. $$\,\angle ABC = 25^{\circ}$$.
$$\,\angle BAC = 90^{\circ} - x = 90^{\circ} - 5^{\circ} = 85^{\circ}$$.
$$\,\angle BCA = 180^{\circ} - 85^{\circ} - 25^{\circ} = 70^{\circ}$$.
Проверим угол между CN и BH.
\(\angle BCN = \gamma/2 = 70^{\circ}/2 = 35^{\circ}$$.
\(\angle OBC = \angle CBH = 20^{\circ}$$.
\(\angle BOC = 180^{\circ} - 35^{\circ} - 20^{\circ} = 125^{\circ}$$.
Угол между CN и BH — это $$180^{\circ} - 125^{\circ} = 55^{\circ}$$. Это совпадает с условием.
Следовательно, $$\,\angle BAC = 85^{\circ}$$.

Ответ: 85