Контрольные задания > В треугольнике АВС биссектриса угла А делит высоту, проведённую из вершины В, в отношении 41 : 40, считая от точки В. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника АВС, если ВС = 18.
Вопрос:

В треугольнике АВС биссектриса угла А делит высоту, проведённую из вершины В, в отношении 41 : 40, считая от точки В. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника АВС, если ВС = 18.

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

Краткое пояснение: Для решения задачи будем использовать теорему синусов и свойства биссектрисы угла.

Дано:

  • Треугольник АВС
  • BD - высота, точка D на АС.
  • BE - биссектриса, точка E на ВС.
  • BE делит высоту BD в отношении 41:40, считая от В, т.е. BE:ED = 41:40.
  • ВС = 18.

Решение:

  1. Пусть высота BD = h. Тогда BE = (41/81)h, а ED = (40/81)h.
  2. По теореме синусов для треугольника АВС: \( \frac{AC}{\sin B} = \frac{BC}{\sin A} = \frac{AB}{\sin C} = 2R \), где R — радиус описанной окружности.
  3. Из этого следует, что \( R = \frac{BC}{2 \sin A} = \frac{18}{2 \sin A} = \frac{9}{\sin A} \).
  4. Также, \( R = \frac{AC}{2 \sin B} \) и \( R = \frac{AB}{2 \sin C} \).
  5. Рассмотрим треугольник АВЕ. По теореме синусов: \( \frac{AE}{\sin \angle ABE} = \frac{BE}{\sin \angle BAE} = \frac{AB}{\sin \angle AEB} \).
  6. Рассмотрим треугольник CВE. По теореме синусов: \( \frac{CE}{\sin \angle CBE} = \frac{BE}{\sin \angle BCE} = \frac{BC}{\sin \angle CEB} \).
  7. Из условия, что BE — биссектриса угла А, следует \( \angle BAE = \angle CAE \).
  8. Также, \( \angle ABE + \angle CBE = \angle ABC \).
  9. В прямоугольном треугольнике ABD, \( \sin A = \frac{BD}{AB} = \frac{h}{AB} \) и \( ext{tg} A = \frac{BD}{AD} = \frac{h}{AD} \).
  10. В прямоугольном треугольнике CBD, \( ext{tg} C = \frac{BD}{CD} = \frac{h}{CD} \).
  11. Поскольку BE делит высоту BD в отношении 41:40, мы можем использовать это соотношение для нахождения сторон.
  12. Рассмотрим свойства биссектрисы и высоты. Точка E лежит на биссектрисе угла А, а точка D лежит на высоте из В.
  13. Рассмотрим треугольник АВD. По теореме Пифагора: \( AB^2 = AD^2 + BD^2 \).
  14. Рассмотрим треугольник СВD. По теореме Пифагора: \( CB^2 = CD^2 + BD^2 \), т.е. \( 18^2 = CD^2 + h^2 \).
  15. Если использовать свойство биссектрисы угла А, то она делит сторону ВС в отношении, равном отношению сторон, прилежащих к этому углу: \( \frac{AB}{AC} = \frac{BE}{EC} \). Это неверно, так как E лежит на биссектрисе, а не на стороне.
  16. Рассмотрим теорему о биссектрисе, которая делит противолежащую сторону. Но в данном случае биссектриса угла А делит высоту, проведенную из вершины В.
  17. Воспользуемся теоремой, которая гласит, что если биссектриса угла А пересекает высоту BD в точке E, то \( \frac{BE}{ED} = \frac{AB+AE}{AD+DE} \). Это также не соответствует задаче.
  18. Пусть \( AB = c, AC = b, BC = a = 18 \). Пусть \( eta = rac{41}{41+40} = rac{41}{81} \). Пусть \( h = BD \). Тогда \( BE = eta h \) и \( ED = (1-eta)h \).
  19. В треугольнике АВD, \( ext{tg} A = rac{h}{AD} \).
  20. В треугольнике СВD, \( ext{tg} C = rac{h}{CD} \).
  21. Также, \( AB = rac{h}{ ext{sin } A} \) и \( BC = rac{h}{ ext{sin } C} \). \( c = rac{h}{ ext{sin } A} \), \( a = rac{h}{ ext{sin } C} \).
  22. Из \( a = 18 \), \( ext{sin } C = rac{h}{18} \).
  23. В треугольнике АВЕ, по теореме синусов: \( rac{AE}{ ext{sin } eta A} = rac{BE}{ ext{sin } rac{A}{2}} = rac{c}{ ext{sin } ext{ } ext{ } } \).
  24. В треугольнике АСD, \( AC = rac{AD}{ ext{cos } A} \).
  25. Рассмотрим другой подход. Пусть \( rac{BE}{ED} = rac{41}{40} \).
  26. По теореме о биссектрисе в треугольнике ABD, если AE - биссектриса угла A, то \( rac{AB}{AD} = rac{BE}{ED} = rac{41}{40} \). Это не так, так как AE не является биссектрисой треугольника ABD.
  27. Пусть \( rac{BE}{ED} = rac{41}{40} \).
  28. Используем формулу для радиуса описанной окружности: \( R = rac{abc}{4S} \), где S - площадь треугольника.
  29. Площадь треугольника АВС: \( S = rac{1}{2} AC imes BD = rac{1}{2} b h \).
  30. \( R = rac{18 imes b imes c}{4 imes rac{1}{2} b h} = rac{18 c}{2h} = rac{9c}{h} \).
  31. Мы знаем \( c = AB \). \( AB = rac{h}{ ext{sin } A} \). \( R = rac{9}{ ext{sin } A} \).
  32. Рассмотрим отношение высоты и биссектрисы.
  33. Пусть \( rac{BE}{ED} = rac{41}{40} \).
  34. По теореме о делении отрезка в заданном отношении.
  35. Рассмотрим треугольник АВD. \( AB = c, BD = h, AD \). \( c^2 = AD^2 + h^2 \).
  36. Рассмотрим треугольник CBD. \( CB = 18, BD = h, CD \). \( 18^2 = CD^2 + h^2 \).
  37. Пусть \( rac{BE}{ED} = k = rac{41}{40} \).
  38. По формуле для точки, делящей отрезок в отношении k: \( E = rac{1 imes B + k imes D}{1+k} \).
  39. Пусть В = (0, h), D = (0, 0), C = (CD, 0), A = (-AD, 0).
  40. Тогда E = \( rac{1 imes (0, h) + k imes (0, 0)}{1+k} = (0, rac{h}{1+k}) \).
  41. BE = \( h - rac{h}{1+k} = rac{kh}{1+k} = rac{ rac{41}{40}h}{1+ rac{41}{40}} = rac{ rac{41}{40}h}{ rac{81}{40}} = rac{41}{81}h \).
  42. ED = \( rac{h}{1+k} = rac{h}{1+ rac{41}{40}} = rac{h}{ rac{81}{40}} = rac{40}{81}h \).
  43. BE:ED = 41:40. Это соответствует условию.
  44. Точка E находится на биссектрисе угла А.
  45. По теореме о биссектрисе, \( rac{AB}{AC} = rac{BE}{EC} \) - это если биссектриса АЕ делит сторону ВС.
  46. В данной задаче биссектриса угла А пересекает высоту BD.
  47. Рассмотрим треугольник АВD. AE — биссектриса угла A.
  48. По теореме о биссектрисе в треугольнике ABD, \( rac{AB}{AD} = rac{BE}{ED} = rac{41}{40} \).
  49. Значит, \( AB = rac{41}{40} AD \).
  50. В прямоугольном треугольнике ABD: \( AB^2 = AD^2 + BD^2 \).
  51. \( ( rac{41}{40} AD)^2 = AD^2 + h^2 \).
  52. \( rac{1681}{1600} AD^2 = AD^2 + h^2 \).
  53. \( rac{1681-1600}{1600} AD^2 = h^2 \).
  54. \( rac{81}{1600} AD^2 = h^2 \).
  55. \( AD = rac{40}{9} h \).
  56. Тогда \( AB = rac{41}{40} imes rac{40}{9} h = rac{41}{9} h \).
  57. Теперь рассмотрим треугольник CBD. \( BC = 18, BD = h, CD \).
  58. \( BC^2 = CD^2 + BD^2 \).
  59. \( 18^2 = CD^2 + h^2 \).
  60. \( 324 = CD^2 + h^2 \).
  61. \( CD = rac{AC - AD}{1} \).
  62. AC = AD + CD.
  63. В треугольнике АВС, \( ext{tg} A = rac{h}{AD} = rac{h}{ rac{40}{9}h} = rac{9}{40} \).
  64. \( ext{tg} C = rac{h}{CD} \).
  65. \( ext{sin } A = rac{ ext{tg } A}{\sqrt{1+ ext{tg}^2 A}} = rac{9/40}{\sqrt{1+(9/40)^2}} = rac{9/40}{\sqrt{1+81/1600}} = rac{9/40}{\sqrt{1681/1600}} = rac{9/40}{41/40} = rac{9}{41} \).
  66. Теперь используем формулу радиуса описанной окружности: \( R = rac{BC}{2 ext{sin } A} \).
  67. \( R = rac{18}{2 imes rac{9}{41}} = rac{18}{ rac{18}{41}} = 18 imes rac{41}{18} = 41 \).
  68. Проверка:
  69. \( AD = rac{40}{9} h \). \( AB = rac{41}{9} h \).
  70. \( CD = rac{AC - AD}{1} \).
  71. \( ext{tg } C = rac{h}{CD} \). \( ext{tg } A = rac{9}{40} \).
  72. \( ext{tg } C = rac{18^2 - h^2}{h} imes rac{1}{h} imes ext{sin } C \).
  73. \( CD = rac{h}{ ext{tg } C} \). \( 18^2 = ( rac{h}{ ext{tg } C})^2 + h^2 \).
  74. \( 324 = rac{h^2}{ ext{tg}^2 C} + h^2 \). \( 324 = h^2 ( rac{1}{ ext{tg}^2 C} + 1) = h^2 rac{1+ ext{tg}^2 C}{ ext{tg}^2 C} = rac{h^2}{ ext{sin}^2 C} \).
  75. \( ext{sin } C = rac{h}{18} \).
  76. \( ext{sin}^2 C = rac{h^2}{324} \).
  77. \( rac{h^2}{324} = rac{h^2}{324} \). Это подтверждает \( CD = rac{h}{ ext{tg } C} \) и \( BC=18 \).
  78. \( ext{tg } A = 9/40 \). \( ext{tg } C = rac{h}{CD} \).
  79. \( A+B+C = 180^ ext{o} \). \( A+C = 180^ ext{o} - B \).
  80. \( A+C = 90^ ext{o} \) только если B=90.
  81. \( ext{tg } C = rac{h}{\sqrt{324-h^2}} \).
  82. \( ext{tg } A = 9/40 \). \( ext{tg } C = rac{h}{\sqrt{324-h^2}} \).
  83. \( ext{tg } (A+C) = rac{ ext{tg } A + ext{tg } C}{1 - ext{tg } A ext{tg } C} \).
  84. \( A+C = 180^ ext{o} - B \).
  85. Используем \( AD = rac{40}{9} h \) и \( AB = rac{41}{9} h \).
  86. \( ext{sin } A = 9/41 \). \( ext{cos } A = rac{AD}{AB} = rac{40/9 h}{41/9 h} = 40/41 \).
  87. \( ext{tg } A = rac{ ext{sin } A}{ ext{cos } A} = rac{9/41}{40/41} = 9/40 \).
  88. \( CD = rac{h}{ ext{tg } C} \). \( ext{tg } C = rac{h}{CD} \).
  89. \( AC = AD + CD = rac{40}{9} h + CD \).
  90. \( ext{cos } C = rac{CD}{BC} = rac{CD}{18} \). \( ext{sin } C = rac{h}{18} \). \( ext{tg } C = rac{h}{CD} \).
  91. \( CD^2 = 18^2 - h^2 = 324 - h^2 \). \( CD = rac{\sqrt{324-h^2}}{1} \).
  92. \( ext{tg } C = rac{h}{\sqrt{324-h^2}} \).
  93. \( ext{tg } A ext{ tg } C = rac{9}{40} imes rac{h}{\sqrt{324-h^2}} \).
  94. \( ext{tg } A = rac{9}{40} \). \( ext{tg } C = rac{h}{CD} \).
  95. \( AC = AD + CD = rac{40h}{9} + rac{\sqrt{324-h^2}}{1} \).
  96. \( ext{cos } B = rac{a^2+c^2-b^2}{2ac} = rac{18^2 + (41/9 h)^2 - AC^2}{2 imes 18 imes (41/9 h)} \).
  97. \( ext{sin } A = 9/41 \). \( R = 41 \).

Ответ: 41

ГДЗ по фото 📸
Подать жалобу Правообладателю