Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика25.8. В треугольнике АВС ДС = 90°, внешний угол при верши- не В равен 150°, биссектриса АА₁ = 20 см. Найдите А₁С. 25.9. В треугольнике АВС ∠C = 90°, AB = 2ВС. Найдите градус- ную меру внешнего угла при вершине В. 25.10. В треугольнике АВС ∠B = 90°, биссектриса СС₁ = 16 см, ВС₁ = 8 см. Найдите градусную меру внешнего угла при > вершине А. 25.11. В треугольнике АВС AB = BC = 20 см, ВК – высота, ∠ABC = 60°. Найдите АС и градусную меру угла ВСК. 25.12. В равнобедренном треугольнике АВС ∠C = 30°, AB = BC = = 8 см. Найдите высоту треугольника, опущенную из вер- шины В. 25.13. В треугольнике АВС ∠C = 90°, CD – высота, ВС = 2BD. Докажите, что AD = 3DB. 25.14*. В треугольнике АВС ∠B = 90°, BD – высота, АВ = 2BD. Докажите, что ЗАС = 4AD. § 26. Расстояние между параллельными прямыми 26.1. В треугольнике АВС сторона АВ = 10 см, ∠C = 90°, /В = 30°. Через вершину А проведена прямая а, параллель
Ответ:
25.8.
В треугольнике ABC ∠C = 90°, внешний угол при вершине B равен 150°, биссектриса AA₁ = 20 см. Найдите A₁C.
Решение:
Показать решение
Внешний угол при вершине B равен 150°, следовательно, ∠B = 180° - 150° = 30°.
Так как AA₁ - биссектриса, то ∠BAA₁ = ∠CAA₁ = (90° - 30°) / 2 = 30°.
В треугольнике AA₁B: ∠AA₁B = 180° - ∠B - ∠BAA₁ = 180° - 30° - 30° = 120°.
∠AA₁C = 180° - ∠AA₁B = 180° - 120° = 60°.
В треугольнике A₁AC: ∠A₁CA = 90°, ∠AA₁C = 60°, следовательно, ∠CAA₁ = 30°.
Тогда A₁C = AA₁ / 2 = 20 / 2 = 10 см (катет против угла 30°).
25.9.
В треугольнике ABC ∠C = 90°, AB = 2BC. Найдите градусную меру внешнего угла при вершине B.
Показать решение
Пусть BC = x, тогда AB = 2x.
sin(∠A) = BC / AB = x / 2x = 1/2.
Следовательно, ∠A = 30°, ∠B = 90° - 30° = 60°.
Внешний угол при вершине B равен 180° - 60° = 120°.
25.10.
В треугольнике ABC ∠B = 90°, биссектриса CC₁ = 16 см, BC₁ = 8 см. Найдите градусную меру внешнего угла при вершине A.
Показать решение
В треугольнике BCC₁: tg(∠BCC₁) = BC₁ / BC = 8 / BC.
Так как CC₁ - биссектриса, то ∠BCC₁ = ∠ACC₁ = ∠C / 2, следовательно, ∠C = 2 * ∠BCC₁.
В треугольнике ABC: ∠A = 90° - ∠C = 90° - 2 * ∠BCC₁.
sin(∠BCC₁) = BC₁ / CC₁ = 8 / 16 = 1/2, следовательно, ∠BCC₁ = 30°.
∠C = 2 * 30° = 60°, ∠A = 90° - 60° = 30°.
Внешний угол при вершине A равен 180° - 30° = 150°.
25.11.
В треугольнике ABC AB = BC = 20 см, BK – высота, ∠ABC = 60°. Найдите AC и градусную меру угла BCK.
Показать решение
Так как AB = BC, то треугольник ABC равнобедренный, ∠BAC = ∠BCA = (180° - 60°) / 2 = 60°.
Следовательно, треугольник ABC равносторонний, AC = AB = BC = 20 см.
В прямоугольном треугольнике BCK: ∠BCK = 90° - ∠B = 90° - 60° = 30°.
25.12.
В равнобедренном треугольнике ABC ∠C = 30°, AB = BC = 8 см. Найдите высоту треугольника, опущенную из вершины B.
Показать решение
Пусть BH - высота, опущенная из вершины B на AC.
sin(∠C) = BH / BC, BH = BC * sin(∠C) = 8 * sin(30°) = 8 * 1/2 = 4 см.
25.13.
В треугольнике ABC ∠C = 90°, CD – высота, BC = 2BD. Докажите, что AD = 3DB.
Показать решение
В прямоугольном треугольнике ABC: BC² = BD * AB (свойство высоты).
Так как BC = 2BD, то (2BD)² = BD * AB, 4BD² = BD * AB, AB = 4BD.
AD = AB - BD = 4BD - BD = 3BD.
25.14*.
В треугольнике ABC ∠B = 90°, BD – высота, AB = 2BD. Докажите, что 3AC = 4AD.
Показать решение
В прямоугольном треугольнике ABD: AD² = AB² + BD² = (2BD)² + BD² = 5BD².
AD = √(5BD²).
В прямоугольном треугольнике ABC: AC² = AB² + BC².
BC² = CD * AC.
AD / AB = AB / AC, AC = AB² / AD = (4BD²) / (√(5BD²)) = (4BD) / √5.
26.1.
В треугольнике ABC сторона AB = 10 см, ∠C = 90°, ∠B = 30°. Через вершину A проведена прямая a, параллельная BC.
Определить расстояние между прямой a и стороной BC.
Показать решение
Расстояние между прямой a и стороной BC равно высоте AH треугольника ABC, опущенной из вершины A на BC.
В прямоугольном треугольнике ABC: AC = AB * sin(∠B) = 10 * sin(30°) = 10 * 1/2 = 5 см.
Расстояние между прямой a и стороной BC равно 5 см.
Проверка за 10 секунд: Убедись, что все вычисления выполнены последовательно и логически обоснованы, а каждый ответ соответствует условию задачи.
Уровень Эксперт: Для более глубокого понимания темы, изучи свойства подобных треугольников и методы решения задач с использованием тригонометрических функций.
