В треугольнике АВС из вершины угла В проведена высота BH. В треугольнике ВНС проведена медиана СМ, причём ∠CMH = 60°. Найдите ВН, если СМ = 46 см.

Решение:

1. Рассмотрим треугольник CMH. Так как CM - медиана, то MH = BH/2.
2. Из условия ∠CMH = 60°. Следовательно, треугольник CMH - прямоугольный, и мы можем использовать тригонометрические функции для нахождения CH.
3. В прямоугольном треугольнике CMH: \[\cos(60^\circ) = \frac{MH}{CM}\] \[\frac{1}{2} = \frac{MH}{46}\] \[MH = 23 \text{ см}\]
4. Так как MH = BH/2, то BH = 2 * MH = 2 * 23 = 46 см.
5. Теперь рассмотрим треугольник BHC. BH - высота, следовательно, треугольник BHC - прямоугольный.
6. Мы знаем CH и угол ∠CMH = 60°. Найдем BH, используя тангенс угла C: \[\tan(60^\circ) = \frac{BH}{CH}\] \[BH = CH \cdot \tan(60^\circ)\] \[BH = 23 \cdot \sqrt{3}\]

Ответ: 23\(\sqrt{3}\) см