В треугольнике АВС, изображенном на рисунке, ∠A = 90°, АВ = 5 см, ВС = 13 см. Найдите радиус окружности с центром С, если она имеет с прямой АВ только одну общую точку.

Привет! Давай разберемся с этой задачей по геометрии.

Дано:

• Треугольник АВС
• \[ \angle A = 90^\circ \]
• \[ AB = 5 \text{ см} \]
• \[ BC = 13 \text{ см} \]
• Окружность с центром С.

Найти: Радиус окружности, если она касается прямой АВ.

Решение:

1. Что значит «касается»? Если окружность касается прямой, это значит, что у них есть ровно одна общая точка. Расстояние от центра окружности до этой прямой равно радиусу окружности.
2. Наш центр - точка С. Прямая, которую мы рассматриваем, — это АВ.
3. Расстояние от С до АВ: Поскольку \[ \angle A = 90^\circ \], то сторона АС перпендикулярна к стороне АВ. А значит, длина отрезка АС — это и есть расстояние от точки С до прямой АВ.
4. Находим АС: У нас есть прямоугольный треугольник АВС. Мы знаем гипотенузу ВС (13 см) и один катет АВ (5 см). Можем найти второй катет АС с помощью теоремы Пифагора:

\[ AB^2 + AC^2 = BC^2 \]

\[ 5^2 + AC^2 = 13^2 \]

\[ 25 + AC^2 = 169 \]

\[ AC^2 = 169 - 25 \]

\[ AC^2 = 144 \]

\[ AC = \sqrt{144} \]

\[ AC = 12 \text{ см} \]

5. Радиус окружности: Так как расстояние от центра С до прямой АВ равно АС, а это расстояние равно радиусу, то радиус искомой окружности равен 12 см.

Ответ: Радиус окружности равен 12 см.