5. В треугольнике АВС известно, что ∠B = 90°, ∠ACB = 60°, отрезок CD - бис- сектриса треугольника. Найдите катет АВ, если BD = 5 см.

Дано: треугольник ABC, ∠B = 90°, ∠ACB = 60°, CD - биссектриса, BD = 5 см.

Найти: AB.

Решение:

1. Рассмотрим треугольник ABC. Так как сумма углов треугольника равна 180°, то ∠BAC = 180° - ∠ABC - ∠ACB = 180° - 90° - 60° = 30°.
2. CD - биссектриса, следовательно, ∠ACD = ∠DCB = ∠ACB / 2 = 60° / 2 = 30°.
3. Рассмотрим треугольник BCD. ∠BCD = 30°, ∠DBC = 90°. Следовательно, ∠BDC = 180° - ∠BCD - ∠DBC = 180° - 30° - 90° = 60°.
4. По теореме о биссектрисе треугольника, AD / BD = AC / BC.
5. В прямоугольном треугольнике ABC катет, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы. Следовательно, BC = AC / 2.
6. AD / BD = AC / (AC / 2) = 2. AD = 2 * BD = 2 * 5 = 10 см.
7. Рассмотрим прямоугольный треугольник BCD. tg(∠BCD) = BD / BC. BC = BD / tg(∠BCD) = 5 / tg(30°) = 5 / (1 / √3) = 5√3 см.
8. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC. tg(∠ACB) = AB / BC. AB = BC * tg(∠ACB) = 5√3 * tg(60°) = 5√3 * √3 = 5 * 3 = 15 см.

Ответ: 15 см.