В треугольнике АВС известно, что АC = 36, ВС = 15, а угол С равен 90градусов. Найдите радиус вписанной в этот треугольник окружности.

Ответ: 6

Разбираемся:

Шаг 1: Найдем гипотенузу АВ по теореме Пифагора:

\[AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{36^2 + 15^2} = \sqrt{1296 + 225} = \sqrt{1521} = 39\]

Шаг 2: Вычислим полупериметр треугольника:

\[p = \frac{AB + BC + AC}{2} = \frac{39 + 15 + 36}{2} = \frac{90}{2} = 45\]

Шаг 3: Найдем площадь треугольника, используя катеты AC и BC:

\[S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 36 \cdot 15 = 270\]

Шаг 4: Вычислим радиус вписанной окружности, используя формулу \[r = \frac{S}{p}\], где S - площадь, p - полупериметр:

\[r = \frac{270}{45} = 6\]

Ответ: 6