Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВ треугольнике АВС известно, что AC = BC, AB=18, tg A = 2√22 9. Найдите длину стороны АС.
Ответ:
Смотри, тут всё просто: нам дан равнобедренный треугольник, и нужно найти боковую сторону, зная основание и тангенс угла при основании. Сейчас всё разложим по полочкам.
Пошаговое решение:
Так как треугольник ABC равнобедренный (AC = BC), углы при основании равны, то есть угол A равен углу B.
Нам дан tg A = 2√22/9. Для начала, вспомним основное тригонометрическое тождество, связывающее тангенс и косинус:
\[ \tg^2 A + 1 = \frac{1}{\cos^2 A} \]Подставим значение тангенса:
\[ \left(\frac{2\sqrt{22}}{9}\right)^2 + 1 = \frac{1}{\cos^2 A} \]\[ \frac{4 \cdot 22}{81} + 1 = \frac{1}{\cos^2 A} \]\[ \frac{88}{81} + 1 = \frac{1}{\cos^2 A} \]\[ \frac{88 + 81}{81} = \frac{1}{\cos^2 A} \]\[ \frac{169}{81} = \frac{1}{\cos^2 A} \]\[ \cos^2 A = \frac{81}{169} \]Извлекаем квадратный корень, учитывая, что угол A острый, поэтому косинус положительный:
\[ \cos A = \sqrt{\frac{81}{169}} = \frac{9}{13} \]Теперь применим теорему косинусов для треугольника ABC:
\[ AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos C \]Так как AC = BC, то можно записать:
\[ AB^2 = 2AC^2 - 2AC^2 \cdot \cos C \]Выразим \(\cos C\) через \(\cos A\). Угол C равен 180° - 2A, следовательно:
\[ \cos C = \cos(180° - 2A) = -\cos(2A) \]Воспользуемся формулой для косинуса двойного угла:
\[ \cos(2A) = 2 \cos^2 A - 1 \]\[ \cos(2A) = 2 \cdot \left(\frac{9}{13}\right)^2 - 1 \]\[ \cos(2A) = 2 \cdot \frac{81}{169} - 1 \]\[ \cos(2A) = \frac{162}{169} - 1 = \frac{162 - 169}{169} = -\frac{7}{169} \]Тогда:
\[ \cos C = -\cos(2A) = \frac{7}{169} \]Теперь вернемся к теореме косинусов:
\[ AB^2 = 2AC^2 - 2AC^2 \cdot \cos C \]Подставим известные значения: AB = 18 и \(\cos C = \frac{7}{169}\)
\[ 18^2 = 2AC^2 - 2AC^2 \cdot \frac{7}{169} \]\[ 324 = 2AC^2 \left(1 - \frac{7}{169}\right) \]\[ 324 = 2AC^2 \left(\frac{169 - 7}{169}\right) \]\[ 324 = 2AC^2 \cdot \frac{162}{169} \]\[ AC^2 = \frac{324 \cdot 169}{2 \cdot 162} = \frac{324 \cdot 169}{324} = 169 \]Извлекаем квадратный корень:
\[ AC = \sqrt{169} = 13 \]Ответ: 13
