В треугольнике АВС известно, что АC = BC, AB=14, tgA=\frac{3\sqrt{39}}{7}. Найдите длину стороны АС.

В треугольнике ABC известно, что AC = BC, AB = 14, \( tg A = \frac{3\sqrt{39}}{7} \). Найдем длину стороны AC.

1. Треугольник ABC является равнобедренным, так как AC = BC.
2. Проведем высоту CH к стороне AB. Так как треугольник равнобедренный, высота CH является также медианой, поэтому AH = HB = \( \frac{AB}{2} = \frac{14}{2} = 7 \).
3. Рассмотрим прямоугольный треугольник ACH. Тангенс угла A равен отношению противолежащего катета CH к прилежащему катету AH:

$$ tg A = \frac{CH}{AH} $$

4. Известно, что \( tg A = \frac{3\sqrt{39}}{7} \) и AH = 7, найдем CH:

$$ \frac{CH}{7} = \frac{3\sqrt{39}}{7} $$ $$ CH = 3\sqrt{39} $$

5. Теперь, когда известны катеты AH и CH, можем найти гипотенузу AC по теореме Пифагора:

$$ AC^{2} = AH^{2} + CH^{2} $$ $$ AC^{2} = 7^{2} + (3\sqrt{39})^{2} $$ $$ AC^{2} = 49 + 9 \cdot 39 $$ $$ AC^{2} = 49 + 351 $$ $$ AC^{2} = 400 $$ $$ AC = \sqrt{400} = 20 $$

Ответ: 20