В треугольнике АВС известно, что АС = BC, AB = 18, tg A = \(\frac{2\sqrt{22}}{9}\). Найдите длину стороны АС.

Пошаговое решение:

• Шаг 1: В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, значит, \( \angle A = \angle B \).

Так как \( tg A = \frac{2\sqrt{22}}{9} \), найдем \( cos A \). Воспользуемся формулой \( 1 + tg^2 A = \frac{1}{cos^2 A} \). Отсюда:

\[ cos^2 A = \frac{1}{1 + tg^2 A} = \frac{1}{1 + \frac{4 \cdot 22}{81}} = \frac{1}{1 + \frac{88}{81}} = \frac{1}{\frac{169}{81}} = \frac{81}{169} \]

Тогда \( cos A = \sqrt{\frac{81}{169}} = \frac{9}{13} \) (так как угол A острый).

• Шаг 2: Применим теорему косинусов к стороне AB:

\[ AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot cos C \]

Так как \( AC = BC \), то

\[ AB^2 = 2AC^2 - 2AC^2 \cdot cos C \]

Угол C можно выразить через угол A: \( C = 180° - 2A \), тогда

\[ cos C = cos (180° - 2A) = -cos (2A) \]

Используем формулу двойного угла: \( cos 2A = 2 cos^2 A - 1 \), значит

\[ cos C = -(2 cos^2 A - 1) = 1 - 2 cos^2 A = 1 - 2 \cdot \frac{81}{169} = \frac{169 - 162}{169} = \frac{7}{169} \]

Подставим в теорему косинусов:

\[ AB^2 = 2AC^2 - 2AC^2 \cdot \frac{7}{169} = 2AC^2 \left(1 - \frac{7}{169}\right) = 2AC^2 \cdot \frac{162}{169} \]

Тогда

\[ AC^2 = \frac{AB^2 \cdot 169}{2 \cdot 162} = \frac{18^2 \cdot 169}{2 \cdot 162} = \frac{324 \cdot 169}{324} = 169 \]

Следовательно, \( AC = \sqrt{169} = 13 \).

Ответ: 13