В треугольнике АВС известно, что АС = BC, AB = 18, tg A = \frac{2√22}{9}. Найдите длину стороны АС.

Ответ: 12

1. Шаг 1: Выразим косинус угла A через тангенс.

   Используем основное тригонометрическое тождество: \[\sin^2 A + \cos^2 A = 1\]

   Тангенс угла A равен: \[\tan A = \frac{\sin A}{\cos A} = \frac{2\sqrt{22}}{9}\]

   Выразим синус через косинус: \[\sin A = \tan A \cdot \cos A = \frac{2\sqrt{22}}{9} \cos A\]

   Подставим в основное тригонометрическое тождество:

   \[\left(\frac{2\sqrt{22}}{9} \cos A\right)^2 + \cos^2 A = 1\]

   \[\frac{4 \cdot 22}{81} \cos^2 A + \cos^2 A = 1\]

   \[\frac{88}{81} \cos^2 A + \cos^2 A = 1\]

   \[\frac{169}{81} \cos^2 A = 1\]

   \[\cos^2 A = \frac{81}{169}\]

   \[\cos A = \frac{9}{13}\] (так как угол A острый)

2. Шаг 2: Применим теорему косинусов к треугольнику ABC.

   Теорема косинусов: \[AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos C\]

   Так как AC = BC, то: \[AB^2 = AC^2 + AC^2 - 2 \cdot AC \cdot AC \cdot \cos C\]

   \[AB^2 = 2AC^2 - 2AC^2 \cos C\]

3. Шаг 3: Найдем угол C.

   Так как AC = BC, то углы A и B равны. Сумма углов в треугольнике равна 180 градусов:

   \[A + B + C = 180^\circ\]

   \[2A + C = 180^\circ\]

   \[C = 180^\circ - 2A\]

   \[\cos C = \cos (180^\circ - 2A) = -\cos (2A)\]

   Используем формулу косинуса двойного угла: \[\cos 2A = 2\cos^2 A - 1\]

   \[\cos 2A = 2 \cdot \left(\frac{9}{13}\right)^2 - 1 = 2 \cdot \frac{81}{169} - 1 = \frac{162}{169} - 1 = -\frac{7}{169}\]

   \[\cos C = -\cos 2A = \frac{7}{169}\]

4. Шаг 4: Подставим найденные значения в теорему косинусов.

   \[AB^2 = 2AC^2 - 2AC^2 \cos C\]

   \[18^2 = 2AC^2 - 2AC^2 \cdot \frac{7}{169}\]

   \[324 = 2AC^2 \left(1 - \frac{7}{169}\right)\]

   \[324 = 2AC^2 \cdot \frac{162}{169}\]

   \[AC^2 = \frac{324 \cdot 169}{2 \cdot 162}\]

   \[AC^2 = \frac{162 \cdot 169}{162}\]

   \[AC^2 = 169\]

   \[AC = \sqrt{144} = 12\]

Ответ: 12