В треугольнике АВС известно, что АС = ВС, АН - высота и sin ∠BAC = Найдите tg /НАВ.

Ответ: \(\frac{2}{5}\)

Решение:

• Так как \(AC = BC\), треугольник \(ABC\) равнобедренный. Значит, углы при основании равны: \(\angle BAC = \angle ABC\).
• Пусть \(\angle BAC = \alpha\). Тогда \(\sin \alpha = \frac{5}{\sqrt{29}}\)
• В прямоугольном треугольнике \(AHC\): \(\sin \alpha = \frac{CH}{AC}\)
• Найдем \(\cos \alpha\), используя основное тригонометрическое тождество: \[\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1\] \[\cos \alpha = \sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = \sqrt{1 - \left(\frac{5}{\sqrt{29}}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{25}{29}} = \sqrt{\frac{4}{29}} = \frac{2}{\sqrt{29}}\]
• Угол \(\angle HAC\) равен \(\alpha\). Так как \(AH\) - высота, то \(\angle H = 90^\circ\).
• Тогда \(\angle HAB = 90^\circ - \alpha\).
• Найдем тангенс угла \(\angle HAB\): \[\tan \angle HAB = \tan (90^\circ - \alpha) = \frac{\sin (90^\circ - \alpha)}{\cos (90^\circ - \alpha)} = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{\frac{2}{\sqrt{29}}}{\frac{5}{\sqrt{29}}} = \frac{2}{5}\]

Ответ: \(\frac{2}{5}\)