В треугольнике АВС известно, что АС = BC, AB=10, tgA=2√6/5. Найдите длину стороны АС.

Дано:

• Треугольник ABC.
• AC = BC (равнобедренный треугольник).
• AB = 10.
• $$ ext{tg A} = rac{2 ext{√}6}{5}$$.

Найти: AC.

Решение:

1. Свойства равнобедренного треугольника: В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то есть $$ ext{∠ A} = ext{∠ B}$$.
2. Используем тригонометрическое тождество: Известно, что $$1 + ext{tg}^2 ext{ A} = rac{1}{ ext{cos}^2 ext{ A}}$$. \[ 1 + \left(\frac{2\sqrt{6}}{5}\right)^2 = 1 + \frac{4 imes 6}{25} = 1 + \frac{24}{25} = \frac{25+24}{25} = \frac{49}{25} \] Следовательно, \[ \text{cos}^2\text{ A} = \frac{25}{49} \] Так как A — угол треугольника, $$ ext{cos A} > 0$$, поэтому \[ \text{cos A} = \sqrt{\frac{25}{49}} = \frac{5}{7} \] 3. Найдем синус угла A: Используем тождество $$ ext{sin A} = ext{tg A} imes ext{cos A}$$. \[ \text{sin A} = \frac{2\sqrt{6}}{5} imes \frac{5}{7} = \frac{2\sqrt{6}}{7} \] 4. Применим теорему синусов: В любом треугольнике отношение стороны к синусу противолежащего угла постоянно и равно двум радиусам описанной окружности ($$2R$$). \[ \frac{AB}{\text{sin C}} = \frac{AC}{\text{sin B}} = \frac{BC}{\text{sin A}} = 2R \] Так как AC = BC, то $$ ext{sin B} = ext{sin A}$$. Учитывая, что $$ ext{∠ A} = ext{∠ B}$$, мы можем использовать отношение для стороны AC: \[ \frac{AC}{\text{sin B}} = \frac{AB}{\text{sin C}} \] 5. Найдем угол C: Сумма углов треугольника равна 180°. $$ ext{∠ C} = 180° - ( ext{∠ A} + ext{∠ B})$$. Так как $$ ext{∠ A} = ext{∠ B}$$, то $$ ext{∠ C} = 180° - 2 ext{∠ A}$$. \[ \text{sin C} = \text{sin}(180° - 2 ext{∠ A}) = \text{sin}(2 ext{∠ A}) = 2 \text{sin A cos A} \] \[ \text{sin C} = 2 imes \frac{2\sqrt{6}}{7} imes \frac{5}{7} = \frac{20\sqrt{6}}{49} \] 6. Найдем AC, используя теорему синусов: \[ \frac{AC}{\text{sin B}} = \frac{AB}{\text{sin C}} \] Так как $$ ext{sin B} = ext{sin A} = rac{2 ext{√}6}{7}$$ и $$AB=10$$: \[ \frac{AC}{\frac{2\sqrt{6}}{7}} = \frac{10}{\frac{20\sqrt{6}}{49}} \] \[ AC = \frac{10 imes \frac{2\sqrt{6}}{7}}{\frac{20\sqrt{6}}{49}} = \frac{\frac{20\sqrt{6}}{7}}{\frac{20\sqrt{6}}{49}} = \frac{20\sqrt{6}}{7} imes \frac{49}{20\sqrt{6}} = \frac{49}{7} = 7 \] Альтернативный способ (через высоту): 1. Проведем высоту CH к основанию AB. В равнобедренном треугольнике высота является также медианой, поэтому AH = HB = AB/2 = 10/2 = 5. 2. В прямоугольном треугольнике ACH: $$ ext{tg A} = rac{ ext{CH}}{ ext{AH}}$$. $$ ext{CH} = ext{tg A} imes ext{AH} = rac{2 ext{√}6}{5} imes 5 = 2 ext{√}6$$. 3. Найдем AC по теореме Пифагора в треугольнике ACH: $$ ext{AC}^2 = ext{AH}^2 + ext{CH}^2 = 5^2 + (2 ext{√}6)^2 = 25 + (4 imes 6) = 25 + 24 = 49$$. $$ ext{AC} = ext{√}49 = 7$$.

   Ответ: 7