В треугольнике АВС известно, что АС = ВС, AB = 12, tgA = √7/3. Найдите длину стороны АС.

Решение:

1. Тип треугольника: Так как \(AC = BC\), треугольник \(ABC\) является равнобедренным.
2. Углы равнобедренного треугольника: В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то есть \(\angle A = \angle B\).
3. Используем тангенс: Нам дан \(\text{tg} A = \frac{\sqrt{7}}{3}\).
4. Найдем синус и косинус: Мы можем использовать основное тригонометрическое тождество \(\sin^2 A + \cos^2 A = 1\) и соотношение \(\text{tg} A = \frac{\sin A}{\cos A}\).
   Из \(\text{tg} A = \frac{\sqrt{7}}{3}\), мы можем представить \(\sin A = k\sqrt{7}\) и \(\cos A = 3k\) для некоторого \(k\).
   Подставляем в тождество: \((k\sqrt{7})^2 + (3k)^2 = 1\)
   \(7k^2 + 9k^2 = 1\)
   \(16k^2 = 1\)
   \(k^2 = \frac{1}{16}\)
   \(k = \frac{1}{4}\) (так как угол A в треугольнике острый, его синус и косинус положительны).
   Тогда \(\sin A = \frac{\sqrt{7}}{4}\) и \(\cos A = \frac{3}{4}\).
5. Используем теорему синусов: Теорема синусов гласит:
   $$ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R $$
   В нашем случае \(c = AB = 12\). Так как \(\angle A = \angle B\), то \(\sin A = \sin B\).
   По теореме синусов:
   $$ \frac{AB}{\sin C} = \frac{AC}{\sin B} $$
   $$ \frac{12}{\sin C} = \frac{AC}{\sin A} $$
6. Найдем угол C: Сумма углов треугольника равна 180°.
   \(\angle C = 180° - (\angle A + \angle B) = 180° - 2\angle A\).
   \(\sin C = \sin(180° - 2\angle A) = \sin(2\angle A)\).
   Используем формулу синуса двойного угла: \(\sin(2\angle A) = 2 \sin A \cos A\).
   \(\sin C = 2 \times \frac{\sqrt{7}}{4} \times \frac{3}{4} = \frac{6\sqrt{7}}{16} = \frac{3\sqrt{7}}{8}\).
7. Находим AC: Теперь подставим значения в соотношение из теоремы синусов:
   $$ \frac{12}{\frac{3\sqrt{7}}{8}} = \frac{AC}{\frac{\sqrt{7}}{4}} $$
   $$ 12 \times \frac{8}{3\sqrt{7}} = AC \times \frac{4}{\sqrt{7}} $$
   $$ \frac{32}{\sqrt{7}} = AC \times \frac{4}{\sqrt{7}} $$
   Умножим обе стороны на \(\frac{\sqrt{7}}{4}\):
   $$ AC = \frac{32}{\sqrt{7}} \times \frac{\sqrt{7}}{4} = \frac{32}{4} = 8 $$
8. Альтернативный способ (через высоту):
   Опустим высоту \(h\) из вершины \(C\) на основание \(AB\). В равнобедренном треугольнике высота, опущенная на основание, является также медианой и биссектрисой.
   Высота \(h = AC \sin A = AC \times \frac{\sqrt{7}}{4}\).
   Основание \(AB = 12\), значит, отрезок \(AH = HB = 12/2 = 6\).
   В прямоугольном треугольнике \(AHC\):
   \(\text{tg} A = \frac{h}{AH}\)
   $$ \frac{\sqrt{7}}{3} = \frac{h}{6} $$
   \(h = 6 \times \frac{\sqrt{7}}{3} = 2\sqrt{7}\).
   Теперь найдем \(AC\) по теореме Пифагора в треугольнике \(AHC\):
   $$ AC^2 = AH^2 + h^2 $$
   $$ AC^2 = 6^2 + (2\sqrt{7})^2 $$
   $$ AC^2 = 36 + (4 \times 7) $$
   $$ AC^2 = 36 + 28 $$
   $$ AC^2 = 64 $$
   $$ AC = \sqrt{64} = 8 $$

Ответ: 8