В треугольнике АВС известно, что АС = ВС, AB=18, $$\text{tg}A = \frac{2\sqrt{22}}{9}$$. Найдите длину стороны АС.

Решение:

Так как $$AC = BC$$, треугольник $$ABC$$ — равнобедренный. Проведём высоту $$CH$$ из вершины $$C$$ к основанию $$AB$$. В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является также медианой и биссектрисой.

Значит, $$AH = HB = \frac{AB}{2} = \frac{18}{2} = 9$$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ACH$$. В нём:

• $$\\text{tg}A = \frac{CH}{AH}$$
• $$\\text{tg}A = \frac{2\sqrt{22}}{9}$$
• $$AH = 9$$

Подставим известные значения:

\( \frac{CH}{9} = \frac{2\sqrt{22}}{9} \)

Отсюда, $$CH = 2\sqrt{22}$$.

Теперь найдём длину стороны $$AC$$ по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $$ACH$$:

\( AC^2 = AH^2 + CH^2 \)

\( AC^2 = 9^2 + (2\sqrt{22})^2 \)

\( AC^2 = 81 + (4 · 22) \)

\( AC^2 = 81 + 88 \)

\( AC^2 = 169 \)

\( AC = \sqrt{169} \)

\( AC = 13 \)

Ответ: 13