В треугольнике АВС известно, что АС = ВС, AB = 18, tgA=2√22/9. Найдите длину стороны АС.

Решение:

Дано: \( \triangle ABC \), \( AC = BC \), \( AB = 18 \), \( \operatorname{tg} A = \frac{2\sqrt{22}}{9} \).

Найти: \( AC \).

Так как \( AC = BC \), то \( \triangle ABC \) — равнобедренный треугольник. Углы при основании равны, то есть \( \angle A = \angle B \).

Высота \( CH \) в равнобедренном треугольнике, проведённая к основанию \( AB \), является также медианой. Следовательно, \( AH = HB = \frac{AB}{2} = \frac{18}{2} = 9 \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник \( \triangle ACH \). Угол \( A \) является одним из острых углов.

Мы знаем, что \( \operatorname{tg} A = \frac{CH}{AH} \). Подставим известные значения:

\[ \frac{2\sqrt{22}}{9} = \frac{CH}{9} \]

Умножим обе части уравнения на 9:

\[ CH = 2\sqrt{22} \]

Теперь воспользуемся теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника \( \triangle ACH \):

\[ AC^2 = AH^2 + CH^2 \]

Подставим значения \( AH = 9 \) и \( CH = 2\sqrt{22} \):

\[ AC^2 = 9^2 + (2\sqrt{22})^2 \]

Вычислим:

\[ AC^2 = 81 + (4 \cdot 22) \]

\( AC^2 = 81 + 88 \)

\[ AC^2 = 169 \]

Извлечём квадратный корень:

\[ AC = \sqrt{169} \]

\( AC = 13 \)

Ответ: AC = 13.