В треугольнике АВС известно, что АВ = BC, АС = 6, tg∠BAC = \(\frac{\sqrt{7}}{3}\). Найдите длину стороны АВ.

1. Обозначим треугольник ABC, где AB = BC, AC = 6. Проведём высоту BH к основанию AC. В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является также медианой. Значит, AH = HC = \(\frac{AC}{2}\) = \(\frac{6}{2}\) = 3.
2. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. Известно, что tg∠BAC = \(\frac{\sqrt{7}}{3}\). Тангенс угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к прилежащему. В нашем случае: tg∠BAC = \(\frac{BH}{AH}\). Значит, \(\frac{BH}{3}\) = \(\frac{\sqrt{7}}{3}\). Отсюда BH = \(\sqrt{7}\).
3. Теперь, когда известны AH и BH, можем найти AB по теореме Пифагора: AB² = AH² + BH². Подставляем значения: AB² = 3² + (\(\sqrt{7}\))² = 9 + 7 = 16. Следовательно, AB = \(\sqrt{16}\) = 4.

Проверка за 10 секунд: Убедись, что найденная длина AB (4) соответствует условию задачи и теореме Пифагора для треугольника ABH.

Читерский прием: Всегда используй свойства равнобедренных треугольников, чтобы упростить задачу!