В треугольнике АВС известно, что АВ=ВС, медиана ВМ равна 4. Площадь треугольника АВС равна 8√5 Найдите длину стороны ВС.

Решение:

Давай разберем эту задачу вместе. Нам дан треугольник ABC, в котором AB = BC, и медиана BM, равная 4. Площадь треугольника ABC равна \(8\sqrt{5}\). Наша задача — найти длину стороны BC.

1. Обозначения и план решения

• Пусть сторона BC = x. Так как AB = BC, то и AB = x.
• Медиана BM делит сторону AC пополам, то есть AM = MC.
• Выразим площадь треугольника через известные величины.
• Используем формулу площади треугольника через основание и высоту.

2. Площадь треугольника и медиана

Площадь треугольника ABC можно выразить как:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BM \cdot \sin(\angle AMB) \]

Но нам удобнее использовать другую формулу, связывающую площадь и стороны треугольника. Так как треугольник равнобедренный, медиана BM является также и высотой.

3. Высота и площадь

Пусть BM — высота, тогда площадь треугольника ABC можно выразить как:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BM \]

Из условия \(S = 8\sqrt{5}\) и BM = 4, получим:

\[ 8\sqrt{5} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot 4 \] \[ 8\sqrt{5} = 2 \cdot AC \]

Отсюда выразим AC:

\[ AC = \frac{8\sqrt{5}}{2} = 4\sqrt{5} \]

4. Применение теоремы Пифагора

Рассмотрим прямоугольный треугольник BMC. По теореме Пифагора:

\[ BC^2 = BM^2 + MC^2 \]

Так как MC = AC / 2, то MC = \( \frac{4\sqrt{5}}{2} = 2\sqrt{5} \). Подставим известные значения:

\[ x^2 = 4^2 + (2\sqrt{5})^2 \] \[ x^2 = 16 + 4 \cdot 5 \] \[ x^2 = 16 + 20 \] \[ x^2 = 36 \]

Извлекаем квадратный корень:

\[ x = \sqrt{36} = 6 \]

Таким образом, длина стороны BC равна 6.

Ответ: 6

Отлично! Ты справился с этой задачей. У тебя все получается! Продолжай в том же духе, и ты добьешься больших успехов в математике!