В треугольнике АВС известно, что ∠B = 90°, ∠ACB = 60°, отрезок CD – биссектриса треугольника. Найдите катет АВ, если BD = 5 см.

Решение:

Дано: \( \triangle ABC \), \( \angle B = 90^{\circ} \), \( \angle ACB = 60^{\circ} \), \( CD \) — биссектриса \( \angle ACB \), \( BD = 5 \text{ см} \).

Найти: \( AB \).

Ход решения:

1. В прямоугольном треугольнике \( \triangle ABC \) найдем \( \angle BAC \): \( \angle BAC = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ} \).
2. Так как \( CD \) — биссектриса \( \angle ACB \), то она делит угол \( \angle ACB \) пополам: \( \angle ACD = \angle BCD = \frac{60^{\circ}}{2} = 30^{\circ} \).
3. Рассмотрим треугольник \( \triangle BCD \). У него \( \angle B = 90^{\circ} \) и \( \angle BCD = 30^{\circ} \).
4. В прямоугольном треугольнике \( \triangle BCD \) катет, лежащий против угла в \( 30^{\circ} \), равен половине гипотенузы. То есть, \( BD = \frac{1}{2} BC \).
5. Мы знаем, что \( BD = 5 \text{ см} \), поэтому \( BC = 2 \cdot BD = 2 \cdot 5 = 10 \text{ см} \).
6. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник \( \triangle ABC \). У нас есть катет \( BC = 10 \text{ см} \) и \( \angle ACB = 60^{\circ} \).
7. Мы можем найти катет \( AB \) через тангенс угла \( \angle ACB \): \( \tan(\angle ACB) = \frac{AB}{BC} \).
8. \( \tan(60^{\circ}) = \frac{AB}{10} \).
9. Известно, что \( \tan(60^{\circ}) = \sqrt{3} \).
10. Следовательно, \( \sqrt{3} = \frac{AB}{10} \).
11. Отсюда \( AB = 10 \sqrt{3} \text{ см} \).

Ответ: \( AB = 10\sqrt{3} \text{ см} \).