В треугольнике АВС известно, что ∠C=90°, ∠A = 30°, отрезок ВМ — биссектриса треугольника. Найдите катет АС, если ВМ = 6 см.

Решение:

1. Найдём углы треугольника ABC:

1. Угол C = 90°.
2. Угол A = 30°.
3. Угол B = 180° - (90° + 30°) = 180° - 120° = 60°.

2. Найдём углы, образованные биссектрисой BM:

1. BM — биссектриса угла B, значит, делит угол B пополам: ∠ABM = ∠MBC = 60° / 2 = 30°.

3. Рассмотрим треугольник ABM:

1. Угол A = 30°.
2. Угол ABM = 30°.
3. Следовательно, треугольник ABM равнобедренный с основанием AM, так как углы при основании равны. Значит, AM = BM = 6 см.

4. Рассмотрим треугольник BCM:

1. Угол MBC = 30°.
2. Угол C = 90°.
3. Угол BMC = 180° - (90° + 30°) = 180° - 120° = 60°.

5. Найдём катет AC:

1. В прямоугольном треугольнике ABC:
2. Катет AM является частью катета AC.
3. Из треугольника BCM, зная, что он прямоугольный, и угол MBC = 30°, мы можем найти CM. Катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. Гипотенуза в треугольнике BCM — это BC.
4. Чтобы найти AC, нам нужно найти CM.
5. В треугольнике ABC:
6. tg(A) = BC / AC
7. tg(30°) = BC / AC
8. \( \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{BC}{AC} \) => \( AC = BC \cdot \sqrt{3} \)
9. В треугольнике BCM:
10. tg(BMC) = BC / CM
11. tg(60°) = BC / CM
12. \( \sqrt{3} = \frac{BC}{CM} \) => \( CM = \frac{BC}{\sqrt{3}} \)
13. AC = AM + CM = 6 + \( \frac{BC}{\sqrt{3}} \)
14. Подставим AC из первого уравнения: \( BC \cdot \sqrt{3} = 6 + \frac{BC}{\sqrt{3}} \)
15. \( BC \cdot \sqrt{3} - \frac{BC}{\sqrt{3}} = 6 \)
16. \( BC \left( \sqrt{3} - \frac{1}{\sqrt{3}} \right) = 6 \)
17. \( BC \left( \frac{3 - 1}{\sqrt{3}} \right) = 6 \)
18. \( BC \left( \frac{2}{\sqrt{3}} \right) = 6 \)
19. \( BC = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3 \sqrt{3} \) см.
20. Теперь найдём AC:
21. \( AC = BC \cdot \sqrt{3} = 3 \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3 \cdot 3 = 9 \) см.

Ответ: Катет AC равен 9 см.