В треугольнике АВС известно, что ВС = 10, ∠B = 60°, угол C равен 90°. Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.

Решение:

В прямоугольном треугольнике ABC, угол C равен 90°, значит, гипотенузой является сторона AB. Радиус описанной окружности прямоугольного треугольника равен половине его гипотенузы.

Мы знаем, что BC = 10 и \( \angle B = 60^{\circ} \).

Используем теорему синусов для нахождения стороны AB:

\( \frac{AC}{\sin(\angle B)} = \frac{BC}{\sin(\angle A)} = \frac{AB}{\sin(\angle C)} \)

Так как \( \angle C = 90^{\circ} \), \( \sin(\angle C) = \sin(90^{\circ}) = 1 \). Следовательно, \( AB = \frac{BC}{\sin(\angle A)} \).

Сначала найдем \( \angle A \): \( \angle A = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ} \).

Теперь найдем AB:

\[ AB = \frac{BC}{\sin(\angle A)} = \frac{10}{\sin(30^{\circ})} = \frac{10}{0.5} = 20 \]

Радиус описанной окружности \( R \) равен половине гипотенузы AB:

\[ R = \frac{AB}{2} = \frac{20}{2} = 10 \]

Ответ: 10