В треугольнике АВС известно, что AC = BC, АВ = 20 и cos ∠BAC = 4/5. Найдите высоту АН.

Ответ: 16

1. Обозначим сторону AC = BC = x. По теореме косинусов:

   \[AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot cos∠BAC\] \[20^2 = x^2 + x^2 - 2 \cdot x \cdot x \cdot \frac{4}{5}\] \[400 = 2x^2 - \frac{8}{5}x^2\] \[400 = \frac{10x^2 - 8x^2}{5}\] \[400 = \frac{2x^2}{5}\] \[x^2 = \frac{400 \cdot 5}{2}\] \[x^2 = 1000\] \[x = \sqrt{1000} = 10\sqrt{10}\]

2. Рассмотрим треугольник AHC, где AH - высота, тогда ∠AHC = 90°. Cos∠BAC = \(\frac{AH}{AC}\). Выразим AH:

   \[AH = AC \cdot cos∠BAC\] \[AH = 10\sqrt{10} \cdot \frac{4}{5}\] \[AH = 8\sqrt{10}\]

3. Высота CH является также медианой, следовательно H – середина AB, и AH = \(\frac{1}{2}\) AB = \(\frac{1}{2}\) \( \cdot \) 20 = 10

4. Рассмотрим прямоугольный треугольник ACH. По теореме Пифагора:

   \[AC^2 = AH^2 + CH^2\] \[(10\sqrt{10})^2 = AH^2 + 10^2\] \[1000 = AH^2 + 100\] \[AH^2 = 900\] \[AH = \sqrt{900} = 30\]

5. С другой стороны, высота AH равна:

   \[AH = AC \cdot sin∠C\] \[AH = 10\sqrt{10} \cdot sin∠C\]

6. Так как cos∠BAC = \(\frac{4}{5}\), то sin∠BAC = \(\sqrt{1 - cos^2∠BAC}\) = \(\sqrt{1 - (\frac{4}{5})^2}\) = \(\sqrt{1 - \frac{16}{25}}\) = \(\sqrt{\frac{9}{25}}\) = \(\frac{3}{5}\)

7. Тогда:

   \[AH = 10\sqrt{10} \cdot \frac{3}{5}\] \[AH = 6\sqrt{10}\]

8. Рассмотрим треугольник ABH: \(cos∠BAH = \frac{4}{5}\), тогда

   \[AH = AB \cdot cos∠BAH\] \[AH = 20 \cdot \frac{4}{5} = 16\]

Ответ: 16