148. В треугольнике АВС известно, что ∠C = 90°, ∠A = 60°. Биссек- триса угла А пересекает ка- тет ВС в точке К. Найдите ВК, если АК - СК = 8 см.

В прямоугольном треугольнике ABC известен угол A, равный 60°. Значит, угол B равен 30° (так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°).

АК – биссектриса угла A, следовательно, угол CAK = углу BAK = 60°/2 = 30°.

Рассмотрим треугольник ACK. В нем угол CAK = 30°, угол C = 90°, следовательно, угол AKC = 180° - 90° - 30° = 60°.

Рассмотрим треугольник ABK. В нем угол BAK = 30°, угол B = 30°, следовательно, треугольник ABK – равнобедренный, и AB = AK.

Обозначим CK = x, тогда AK = x + 8.

В прямоугольном треугольнике ACK: $$tan ∠CAK = \frac{CK}{AC}$$, $$tan 30° = \frac{CK}{AC} = \frac{x}{AC}$$, следовательно, $$AC = \frac{x}{tan 30°} = x \sqrt{3}$$.

В прямоугольном треугольнике ABC: $$cos ∠A = \frac{AC}{AB}$$, $$cos 60° = \frac{AC}{AB} = \frac{x \sqrt{3}}{x + 8}$$, следовательно, $$\frac{1}{2} = \frac{x \sqrt{3}}{x + 8}$$, $$x + 8 = 2x \sqrt{3}$$, $$x(2 \sqrt{3} - 1) = 8$$, $$x = \frac{8}{2 \sqrt{3} - 1} = \frac{8(2 \sqrt{3} + 1)}{(2 \sqrt{3} - 1)(2 \sqrt{3} + 1)} = \frac{8(2 \sqrt{3} + 1)}{12 - 1} = \frac{8(2 \sqrt{3} + 1)}{11}$$.

В прямоугольном треугольнике ABC: $$tan ∠A = \frac{BC}{AC}$$, $$tan 60° = \frac{BC}{AC} = \frac{BC}{x \sqrt{3}}$$, следовательно, $$BC = x \sqrt{3} \cdot tan 60° = x \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3x$$, $$BC = 3 \cdot \frac{8(2 \sqrt{3} + 1)}{11} = \frac{24(2 \sqrt{3} + 1)}{11}$$.

$$BK = BC - CK = \frac{24(2 \sqrt{3} + 1)}{11} - \frac{8}{2 \sqrt{3} - 1} = \frac{24(2 \sqrt{3} + 1)}{11} - \frac{8(2 \sqrt{3} + 1)}{11} = \frac{16(2 \sqrt{3} + 1)}{11}$$.

$$BK = \frac{16(2 \sqrt{3} + 1)}{11} ≈ 6.63$$ см.

Ответ: $$\frac{16(2 \sqrt{3} + 1)}{11} ≈ 6.63$$ см.