148. В треугольнике АВС известно, что ДС = 90°, ∠A = 60°. Биссек- триса угла А пересекает ка- тет ВС в точке К. Найдите ВК, если АК СК = 8 см.

В треугольнике $$ABC$$: $$∠C = 90^{\circ}$$, $$∠A = 60^{\circ}$$.

Сумма углов треугольника равна $$180^{\circ}$$.

$$∠B = 180^{\circ} - ∠A - ∠C = 180^{\circ} - 60^{\circ} - 90^{\circ} = 30^{\circ}$$.

$$AK$$ - биссектриса $$∠A$$, значит, $$∠CAK = ∠BAK = \frac{∠A}{2} = \frac{60^{\circ}}{2} = 30^{\circ}$$.

$$AK = CK = 8 \text{ см}$$.

В треугольнике $$AKC$$: $$AK = CK$$, значит, треугольник $$AKC$$ - равнобедренный, следовательно, $$∠CAK = ∠ACK = 30^{\circ}$$.

Сумма углов треугольника равна $$180^{\circ}$$, следовательно, $$∠AKC = 180^{\circ} - ∠CAK - ∠ACK = 180^{\circ} - 30^{\circ} - 30^{\circ} = 120^{\circ}$$.

$$∠AKB = 180^{\circ} - ∠AKC = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}$$.

Рассмотрим треугольник $$ABK$$. В этом треугольнике $$∠BAK = 30^{\circ}$$, $$∠B = 30^{\circ}$$, значит, треугольник $$ABK$$ - равнобедренный, следовательно, $$AK = BK = 8 \text{ см}$$.

Ответ: $$8 \text{ см}$$.