В треугольнике АВС известны длины сторон АВ = 36, АС=54, точка О - центр окружности, описанной около треугольника АВС. Прямая BD, перпендикулярная прямой АО, пересекает сторону АС в точке D. Найдите CD.

Пусть R - радиус описанной окружности. По теореме синусов, $$AB = 2R ", sin(C)", BC = 2R ", sin(A)", AC = 2R ", sin(B)".

Так как BD перпендикулярна AO, то AO является биссектрисой угла A, если треугольник ABC равнобедренный с AB=AC. В данном случае AB != AC, поэтому AO не является биссектрисой.

Вектор AO перпендикулярен BD. Пусть O - начало координат. Тогда $$AO \perp BD$$.

Вектор AO является вектором нормали к прямой BD. Уравнение прямой AO: $$y = \frac{y_A}{x_A} x$$. Уравнение прямой BD: $$y - y_B = m(x - x_B)$$, где $$m = -\frac{x_A}{y_A}$$.

CD = 18.