В треугольнике АВС известны стороны АВ = 40, АС = 60 и угол ∠BAC = 60°. Найдите третью сторону этого треугольника. В ответе укажите найденное значение, умноженное на √7.

Для решения задачи воспользуемся теоремой косинусов.

Теорема косинусов: Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

В нашем случае, пусть BC = a, AB = c = 40, AC = b = 60, угол ∠BAC = \(\alpha\) = 60°.

Тогда теорема косинусов выглядит так:

$$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot cos(\alpha)$$\

Подставим известные значения:

$$a^2 = 60^2 + 40^2 - 2 \cdot 60 \cdot 40 \cdot cos(60^\circ)$$\

Известно, что \(cos(60^\circ) = \frac{1}{2}\), тогда:

$$a^2 = 3600 + 1600 - 2 \cdot 60 \cdot 40 \cdot \frac{1}{2} = 5200 - 2400 = 2800$$\

Теперь найдем a:

$$a = \sqrt{2800} = \sqrt{400 \cdot 7} = 20\sqrt{7}$$\

По условию задачи, найденное значение нужно умножить на \(\sqrt{7}\):

$$20\sqrt{7} \cdot \sqrt{7} = 20 \cdot 7 = 140$$\

Ответ: 140