В треугольнике АВС медиана АА1 и биссектриса ВВ₁ пересекаются в точке О . Найдите отношение площади треугольника ВОА₁ к площади треугольника АВС, если АВ:BC=1:3.

Обозначим площадь треугольника $$ABC$$ как $$S$$.

Так как $$AA_1$$ - медиана, то $$S_{ABA_1} = \frac{1}{2}S$$.

По свойству биссектрисы $$\frac{AO}{OC} = \frac{AB}{BC} = \frac{1}{3}$$.

Пусть высота, проведенная из вершины $$B$$ к стороне $$AC$$, равна $$h$$. Тогда высота из вершины $$B$$ к стороне $$AA_1$$ (в треугольнике $$BAA_1$$) также равна $$h$$.

Площадь треугольника $$BOA_1$$ можно выразить как $$S_{BOA_1} = \frac{1}{2} \cdot OA_1 \cdot h$$, а площадь треугольника $$BAA_1$$ как $$S_{BAA_1} = \frac{1}{2} \cdot AA_1 \cdot h$$.

Отношение площадей этих треугольников равно отношению длин отрезков $$OA_1$$ и $$AA_1$$.

Так как $$\frac{AO}{OC} = \frac{1}{3}$$, то $$\frac{AO}{AC} = \frac{1}{4}$$, и $$AO = \frac{1}{4}AC$$.

Поскольку $$A_1$$ - середина $$BC$$, $$AA_1 = AC - A_1C = AC - \frac{1}{2}BC$$.

Также $$AC = AO + OC = AO + 3AO = 4AO$$, значит $$AO = \frac{1}{4}AC$$.

Тогда $$\frac{S_{BOA_1}}{S_{ABA_1}} = \frac{OA_1}{AA_1} = \frac{AO}{AC} = \frac{1}{4}$$.

Тогда $$\frac{S_{BOA_1}}{S} = \frac{S_{BOA_1}}{S_{ABA_1}} \cdot \frac{S_{ABA_1}}{S} = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$$.

Ответ: $$\frac{1}{8}$$