В треугольнике АВС медиана ВМ и высота АН пересекаются в точке К. Известно, что ВК=5, МК=1, а угол СВМ равен 30°. Найдите длину высоты АН. В ответ запишите только число.

Решение:

1. Рассмотрим построение по подсказке 1: проведём через точку А прямую, параллельную ВС, и продлим медиану ВМ до пересечения с этой прямой в точке Т.
2. Рассмотрим треугольники АМТ и ВМС (подсказка 2).
• Углы ∠AMT и ∠BMC равны как вертикальные.
• BM = MC, так как ВМ — медиана.
• Углы ∠ATM и ∠CBM равны как накрест лежащие при параллельных прямых АТ || ВС и секущей ВТ.
3. Таким образом, треугольники АМТ и ВМС равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам).
4. Из равенства треугольников следует, что АМ = ВС и АТ = ВС.
5. Рассмотрим углы при параллельных прямых АТ и ВС (подсказка 3). Углы ∠BAM и ∠ABC являются накрест лежащими при параллельных прямых АТ || ВС и секущей АВ.
6. Из равенства треугольников АМТ и ВМС следует, что АТ = ВС.
7. Из равенства треугольников АМТ и ВМС следует, что АМ = МС.
8. Из равенства треугольников АМТ и ВМС следует, что ∠TАM = ∠BCM.
9. Из равенства треугольников АМТ и ВМС следует, что ∠ATM = ∠CBM.
10. Так как АТ || ВС, то ∠BAM = ∠ABС (накрест лежащие углы при секущей АВ).
11. Введём обозначения: ВК = 5, МК = 1. Тогда BM = BK + KM = 5 + 1 = 6.
12. Так как ВМ — медиана, то AM = MC.
13. Из равенства треугольников АМТ и ВМС следует, что АТ = ВС.
14. Из равенства треугольников АМТ и ВМС следует, что AM = MC.
15. Из равенства треугольников АМТ и ВМС следует, что ∠ATM = ∠CBM = 30°.
16. Рассмотрим треугольник ВКС. Угол ∠BCK = 90° (высота АН перпендикулярна ВС).
17. В треугольнике ВКС, sin(30°) = ВК / BC.
18. BC = ВК / sin(30°) = 5 / (1/2) = 10.
19. Так как ВМ — медиана, то AM = MC = BC / 2 = 10 / 2 = 5.
20. Из равенства треугольников АМТ и ВМС следует, что АТ = BC = 10.
21. Из равенства треугольников АМТ и ВМС следует, что AM = MC = 5.
22. Рассмотрим треугольник АТК. Угол ∠ATK = 30°.
23. Угол ∠TAK — прямой (поскольку АТ || ВС и АН ⊥ ВС, то АН ⊥ АТ).
24. В прямоугольном треугольнике АТК, tg(30°) = АТ / AK.
25. AK = AT / tg(30°) = 10 / (1/√3) = 10√3.
26. В прямоугольном треугольнике ВКС, tg(30°) = ВК / KC.
27. KC = BK / tg(30°) = 5 / (1/√3) = 5√3.
28. AH = AK + KH.
29. Рассмотрим треугольники АТК и ВНК (подсказка 4).
30. Угол ∠AK T = ∠BKH (вертикальные).
31. Угол ∠ATK = ∠CBK = 30° (накрест лежащие углы при АТ || ВС и секущей ВТ).
32. Так как треугольники АТК и ВНК прямоугольные, и у них есть по одному равному острому углу (30°), то они подобны.
33. Из подобия треугольников АТК и ВНК следует: AK/BK = TK/HK = AT/BN.
34. Из подобия треугольников АТК и ВНК следует: AK/BK = AT/BN.
35. AK/5 = 10/BN.
36. AH = AK + KH.
37. Рассмотрим треугольник ВКС. Угол ∠BCK = 90°.
38. В прямоугольном треугольнике ВКС, tg(30°) = ВК / KC.
39. KC = BK / tg(30°) = 5 / (1/√3) = 5√3.
40. Рассмотрим треугольник АМС. Угол ∠AMC = 90°.
41. В прямоугольном треугольнике АМС, sin(∠ACM) = AM / AC.
42. Мы знаем, что АТ || ВС.
43. Рассмотрим треугольник АТК. Угол ∠ATK = 30°.
44. Из равенства треугольников АМТ и ВМС следует, что АТ = ВС = 10.
45. В прямоугольном треугольнике АТК, tg(30°) = AK / AT.
46. AK = AT * tg(30°) = 10 * (1/√3) = 10/√3.
47. Рассмотрим треугольник ВКС. Угол ∠BCK = 90°.
48. В прямоугольном треугольнике ВКС, tg(30°) = ВК / KC.
49. KC = BK / tg(30°) = 5 / (1/√3) = 5/√3.
50. AH = AK + KH.
51. В прямоугольном треугольнике ВНК, tg(30°) = KH / BK.
52. KH = BK * tg(30°) = 5 * (1/√3) = 5/√3.
53. AH = AK + KH = 10/√3 + 5/√3 = 15/√3 = 15√3 / 3 = 5√3.
54. Проверим равенство треугольников АМТ и ВМС.
• ∠AMT = ∠BMC (вертикальные).
• AM = MC (ВМ - медиана).
• ∠MAT = ∠MCB (накрест лежащие при АТ || ВС и секущей АС).
55. Следовательно, треугольники АМТ и ВМС равны по второму признаку (углу и стороне, прилежащей к нему).
56. Из равенства треугольников следует, что АТ = ВС.
57. Из равенства треугольников следует, что ∠ATM = ∠CBM = 30°.
58. Из равенства треугольников следует, что AM = MC.
59. Так как АТ || ВС, то ∠ATK = ∠BKC (если рассматривать прямые АТ и ВС и секущую ВК). Это неверно.
60. Рассмотрим ∠ATK и ∠CBK.
61. Так как АТ || ВС, то ∠ATK = ∠CBK = 30° (накрест лежащие углы при секущей ВТ).
62. В прямоугольном треугольнике ВКС (∠BKC = 90°), sin(30°) = ВК/BC.
63. BC = ВК / sin(30°) = 5 / (1/2) = 10.
64. Так как ВМ — медиана, то AM = MC = BC / 2 = 10 / 2 = 5.
65. Из равенства треугольников АМТ и ВМС следует, что АТ = ВС = 10.
66. В прямоугольном треугольнике АТК (∠AK T = 90°, так как АТ || ВС и АН ⊥ ВС, значит АН ⊥ АТ), tg(30°) = AK / AT.
67. AK = AT * tg(30°) = 10 * (1/√3) = 10/√3.
68. В прямоугольном треугольнике ВКС (∠CKB = 90°), tg(30°) = BK / KC.
69. KC = BK / tg(30°) = 5 / (1/√3) = 5/√3.
70. В прямоугольном треугольнике ВНК (∠BHK = 90°), tg(30°) = KH / BK.
71. KH = BK * tg(30°) = 5 * (1/√3) = 5/√3.
72. AH = AK + KH = 10/√3 + 5/√3 = 15/√3 = 5√3.

Ответ: 5√3