В треугольнике АВС на основании АС = 32 см отметили точку К. Найдите длину отрезка КС, если ЅАВК = 42 см², Ѕвкс = 14 см².

Решение:

Пусть АК = x, тогда КС = 32 - x. Высота, проведенная из вершины В к основанию АС, является общей для треугольников ABK и BCK. Обозначим эту высоту за h.

Площадь треугольника ABK равна:

$$S_{ABK} = \frac{1}{2} \cdot AK \cdot h = \frac{1}{2} \cdot x \cdot h$$

Площадь треугольника BCK равна:

$$S_{BCK} = \frac{1}{2} \cdot KC \cdot h = \frac{1}{2} \cdot (32 - x) \cdot h$$

Из условия задачи известно, что $$S_{ABK} = 42 \text{ см}^2$$, $$S_{BCK} = 14 \text{ см}^2$$. Подставим эти значения в формулы:

$$\frac{1}{2} \cdot x \cdot h = 42$$

$$\frac{1}{2} \cdot (32 - x) \cdot h = 14$$

Разделим первое уравнение на второе:

$$\frac{\frac{1}{2} \cdot x \cdot h}{\frac{1}{2} \cdot (32 - x) \cdot h} = \frac{42}{14}$$

Упростим:

$$\frac{x}{32 - x} = 3$$

Решим полученное уравнение:

$$x = 3 \cdot (32 - x)$$ $$x = 96 - 3x$$ $$4x = 96$$ $$x = 24$$

Таким образом, AK = 24 см. Теперь найдем КС:

$$KC = 32 - x = 32 - 24 = 8 \text{ см}$$

Ответ: 8.