В треугольнике АВС на сторонах АВ и ВС отмечены точки М и к соответственно так, что BM:AB=1:2, а BK:BC=10:13. Во сколько раз площадь треугольника АВС больше площади треугольника МВК?

Решение:

Площадь треугольника можно вычислить по формуле: \( S = \frac{1}{2}ab · · \sin C \), где \( a \) и \( b \) — две стороны, а \( C \) — угол между ними.

Для треугольника АВС площадь равна: \( S_{ABC} = \frac{1}{2} · AB · BC · \sin B \).

Для треугольника МВК площадь равна: \( S_{MBK} = \frac{1}{2} · MB · BK · \sin B \).

Нам дано, что \( BM:AB=1:2 \), значит \( MB = \frac{1}{2} AB \).

Также дано, что \( BK:BC=10:13 \), значит \( BK = \frac{10}{13} BC \).

Теперь подставим эти значения в формулу площади треугольника МВК:

\( S_{MBK} = \frac{1}{2} · (\frac{1}{2} AB) · (\frac{10}{13} BC) · \sin B \)

\( S_{MBK} = \frac{1}{2} · \frac{1}{2} · \frac{10}{13} · AB · BC · \sin B \)

\( S_{MBK} = \frac{10}{26} · (\frac{1}{2} · AB · BC · \sin B) \)

\( S_{MBK} = \frac{10}{26} · S_{ABC} \)

\( S_{MBK} = \frac{5}{13} S_{ABC} \)

Чтобы узнать, во сколько раз площадь треугольника АВС больше площади треугольника МВК, нам нужно найти отношение \( \frac{S_{ABC}}{S_{MBK}} \).

\( \frac{S_{ABC}}{S_{MBK}} = \frac{S_{ABC}}{\frac{5}{13} S_{ABC}} = \frac{1}{\frac{5}{13}} = \frac{13}{5} = 2.6 \)

Ответ: Площадь треугольника АВС больше площади треугольника МВК в 2.6 раза.