В треугольнике АВС на сторонах АВ, ВС, АС взяты точки С1, А1 и В1. Отрезки АА1, ВВ1, СС1 пересекаются в точке Р. ВР : PB1 = 5: 1, AB₁: В₁С = 2 : 1. Найди следующие отношения: AC1: C1B = CA1: A₁B = CP: PC1 = AP: PA1

Решение:

• Теорема Чевы: Если на сторонах BC, CA, AB треугольника ABC взяты соответственно точки A₁, B₁ и C₁, то отрезки AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда выполнено следующее равенство: \[\frac{BA_1}{A_1C} \cdot \frac{CB_1}{B_1A} \cdot \frac{AC_1}{C_1B} = 1\]
• Теорема Менелая: Пусть на сторонах AB и AC треугольника ABC или на их продолжениях взяты соответственно точки C₁ и B₁, а на продолжении стороны BC — точка A₁. Тогда точки A₁, B₁ и C₁ лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда выполнено следующее равенство: \[\frac{BA_1}{A_1C} \cdot \frac{CB_1}{B_1A} \cdot \frac{AC_1}{C_1B} = 1\]

Дано:

• В треугольнике ABC точки C₁ на AB, A₁ на BC, B₁ на AC.
• AA₁, BB₁, CC₁ пересекаются в точке P.
• BP : PB₁ = 5 : 1
• AB₁ : B₁C = 2 : 1

Найти:

• AC₁ : C₁B = ?
• CA₁ : A₁B = ?
• CP : PC₁ = ?
• AP : PA₁ = ?

Решение:

• Применим теорему Чевы к треугольнику ABC и точкам A₁, B₁, C₁: \[\frac{AC_1}{C_1B} \cdot \frac{BA_1}{A_1C} \cdot \frac{CB_1}{B_1A} = 1\] Из условия AB₁ : B₁C = 2 : 1, следует, что CB₁/B₁A = 1/2. Подставим это в уравнение: \[\frac{AC_1}{C_1B} \cdot \frac{BA_1}{A_1C} \cdot \frac{1}{2} = 1\] \[\frac{AC_1}{C_1B} \cdot \frac{BA_1}{A_1C} = 2\]
• Применим теорему Менелая к треугольнику AСС₁ и прямой BB₁: \[\frac{CB_1}{B_1A} \cdot \frac{AP}{PC_1} \cdot \frac{C_1B}{BC} = 1\] Тогда \[\frac{CB_1}{B_1A} = \frac{1}{2}\] и \[\frac{BP}{PB_1} = \frac{5}{1}\].
• Применим теорему Менелая к треугольнику CBB₁ и прямой AA₁: \[\frac{CA_1}{A_1B} \cdot \frac{BP}{PB_1} \cdot \frac{B_1A}{AC} = 1\] \[\frac{CA_1}{A_1B} \cdot \frac{5}{1} \cdot \frac{2}{3} = 1\] \[\frac{CA_1}{A_1B} = \frac{3}{10}\]
• Теперь найдем AC₁ : C₁B. Подставим CA₁ : A₁B = 3 : 10 в уравнение из теоремы Чевы: \[\frac{AC_1}{C_1B} \cdot \frac{10}{3} = 2\] \[\frac{AC_1}{C_1B} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}\]
• Для нахождения CP : PC₁, рассмотрим треугольник ACC₁ и прямую BB₁: \[\frac{CP}{PC_1} = \frac{CA}{AB_1} \cdot \frac{B_1P}{PB}\] \[\frac{CP}{PC_1} = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{5} = \frac{3}{10}\]
• Для нахождения AP : PA₁, рассмотрим треугольник BAA₁ и прямую CC₁: \[\frac{AP}{PA_1} = \frac{AC_1}{C_1B} \cdot \frac{BC_1}{CA}\] \[\frac{AP}{PA_1} = \frac{3}{5} \cdot \frac{10}{3} = 2\]

Ответ:

• AC₁ : C₁B = 3 : 5
• CA₁ : A₁B = 3 : 10
• CP : PC₁ = 3 : 10
• AP : PA₁ = 2 : 1