В треугольнике АВС на стороне АС отметили произвольную точку М. В треугольнике АВМ провели биссектрису МК. В треугольнике СВМ построили высоту МР. Угол КМР равен 90° , СМ = 12. Найдите ВМ.

В треугольнике АВС на стороне АС отметили произвольную точку М. В треугольнике АВМ провели биссектрису МК. В треугольнике СВМ построили высоту МР. Угол КМР равен 90°, СМ = 12. Найдите ВМ.

Рассмотрим треугольник KMP. ∠KMP = 90°. Значит, ∠KMВ + ∠PMС = 90°.

МК - биссектриса угла АМВ, следовательно, ∠АМК = ∠KMB.

МР - высота треугольника СМВ, значит ∠CMP = 90°.

∠BMP + ∠PMC = ∠BMC = 90°.

Выразим ∠KMB + ∠BMP = ∠KMP + ∠BMP - ∠PMC = ∠BMC - ∠PMC = 90° - ∠PMC

Т.к. ∠АМК = ∠KMB, то ∠AMK + ∠BMP = 2∠KMB.

∠KMB = 45°.

Тогда ∠AMB = 2 × ∠AMK = 2 × 45° = 90°.

∠BMC = 180° - ∠AMB = 180° - 90° = 90°.

Треугольник ВМС прямоугольный. МР - высота, проведённая к гипотенузе ВС. ∠BMC = 90°.

МР является и медианой, а значит ВМ = СМ.

ВМ = СМ = 12.

Ответ: 12