В треугольнике АВС отмечены середины М и N сторон ВС и АС соответственно. Пло- щадь трапеции ANMB равна 126. Найдите площадь треугольника АВС.

Добрый день! Давай решим эту задачу по геометрии вместе. Вот решение:

\( \) \( \)

Так как точки \(M\) и \(N\) - середины сторон \(BC\) и \(AC\) соответственно, то \(MN\) - средняя линия треугольника \(ABC\).

\( \) \( \)

Средняя линия треугольника отсекает треугольник, подобный данному, с коэффициентом подобия \(k = \frac{1}{2}\). Значит, площадь треугольника \(MNC\) составляет \(\frac{1}{4}\) площади треугольника \(ABC\).

\( \) \( \)

Пусть площадь треугольника \(ABC\) равна \(S\), тогда площадь треугольника \(MNC\) равна \(\frac{1}{4}S\). Площадь трапеции \(ANMB\) равна разности между площадью треугольника \(ABC\) и площадью треугольника \(MNC\), то есть:

\( \) \( \)

\[S_{ANMB} = S - \frac{1}{4}S = \frac{3}{4}S\]

\( \) \( \)

Нам известно, что площадь трапеции \(ANMB\) равна 126, поэтому:

\( \) \( \)

\[\frac{3}{4}S = 126\]

\( \) \( \)

Чтобы найти площадь треугольника \(ABC\), решим уравнение:

\( \) \( \)

\[S = \frac{4}{3} \cdot 126 = 4 \cdot 42 = 168\]

\( \) \( \)

Значит, площадь треугольника \(ABC\) равна 168.

\( \) \( \)