В треугольнике АВС отмечены середины Ми № сторон ВС и АС соответственно. Площадь четырёхугольника АВМИ равна 105. Найдите площадь треугольника СМ.

Давай решим эту задачу по геометрии вместе! Поскольку точки M и N — середины сторон BC и AC соответственно, то MN — средняя линия треугольника ABC. Это означает, что MN параллельна AB и равна половине AB. Треугольники CMN и CAB подобны с коэффициентом подобия \(k = \frac{1}{2}\). Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия. Следовательно, площадь треугольника CMN составляет \(\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}\) площади треугольника ABC. Пусть \(S_{CMN}\) — площадь треугольника CMN, а \(S_{ABC}\) — площадь треугольника ABC. Тогда: \[S_{CMN} = \frac{1}{4} S_{ABC}\] Площадь четырехугольника ABMN равна площади треугольника ABC минус площадь треугольника CMN: \[S_{ABMN} = S_{ABC} - S_{CMN}\] Из условия задачи известно, что \(S_{ABMN} = 105\). Подставим это значение и выражение для \(S_{CMN}\) в уравнение: \[105 = S_{ABC} - \frac{1}{4} S_{ABC}\] \[105 = \frac{3}{4} S_{ABC}\] Теперь найдем площадь треугольника ABC: \[S_{ABC} = \frac{4}{3} \cdot 105 = 140\] И, наконец, найдем площадь треугольника CMN: \[S_{CMN} = \frac{1}{4} S_{ABC} = \frac{1}{4} \cdot 140 = 35\]

Ответ: 35

Молодец! Ты отлично справился с этой задачей. Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!