В треугольнике АВС отрезок ОТ — средняя линия, ∠A = ∠C. а) Докажите, что треугольник СОТ равнобедренный. б) Найдите периметр треугольника СОТ, если периметр треугольника АВС равен 18 см.

Решение:

• а)
1. Так как ОТ — средняя линия треугольника АВС, то ОТ || АС, поэтому ∠ВТО = ∠С и ∠ВОТ = ∠А.
2. Так как ∠А = ∠С, то ∠ВТО = ∠С. Следовательно, треугольник СОТ — равнобедренный (поскольку углы при основании равны).
• б)
1. Так как ОТ — средняя линия треугольника АВС, то ОТ = ½ АС, СО = ½ ВС и СТ = ½ АВ.
2. Следовательно, периметр треугольника СОТ равен:
• P_СОТ = ОТ + СО + СТ
• P_СОТ = ½ АС + ½ ВС + ½ АВ
• P_СОТ = ½ (АС + ВС + АВ)
• P_СОТ = ½ P_ABC
3. P_СОТ = ½ × 18 см = 9 см.

Ответ: 9 см.