В треугольнике АВС отрезок ВМ – медиана и ВН — высота. Известно, что АС = 64 и НС = 16 и ∠ MBC = 37°. Найдите угол АМВ. Ответ дайте в градусах.

Так как AC = 64 и HC = 16, то AH = AC - HC = 64 - 16 = 48.

Рассмотрим прямоугольный треугольник BHC. Известно, что ∠MBC = 37°. Тогда tg(37°) = HC / BH.

BH = HC / tg(37°) = 16 / tg(37°)

Так как tg(37°) ≈ 0.75, то BH ≈ 16 / 0.75 ≈ 21.33.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. tg(∠ABH) = AH / BH ≈ 48 / 21.33 ≈ 2.25.

∠ABH = arctg(2.25) ≈ 66°.

∠MBA = ∠ABC - ∠ABH. ∠ABC = 90 - 37 = 53

∠MBA = ∠ABC - ∠ABH ≈ 53 - 37 = 16°.

Так как BM - медиана, то AM = MC = AC / 2 = 64 / 2 = 32.

MH = AM - AH = 32 - 16 = 16.

Рассмотрим треугольник MBH. ∠H = 90° , MH = 16, BH = 16/0,75 = 64/3

tg ∠HMB = BH/MH = 64/(3*16) = 4/3

Получается ∠HMB = arctg(4/3) ≈ 53°. Тогда AMB = 180 - 53 = 127.

AM = MC = 32. MH = |AH - AM| = |48 - 32| = 16.

tg(∠MBH) = MH/BH = 16/(64/3) = 3/4

Тогда ∠MBH = arctg(3/4) ≈ 37°.

В прямоугольном треугольнике BHC: BH = HC / tg 37° = 16 / 0.75 = 64/3

AM = MC = 32

Пусть угол АВН = x, тогда tg x = AH / BH = 48 / (64/3) = (48 * 3) / 64 = (3 * 3) / 4 = 9/4 = 2.25

x = arctg (2.25) ≈ 66°

Тогда угол АВМ = угол АВС - угол АВН = (90 - 37) - 66 = 53 - 66 = -13. Это значит, что точка M находится между точками H и C.

HM = AM - AH = 32 - 48 = -16, то есть HM = 16. Значит, что HM = HC.

Треугольник BHM прямоугольный и равнобедренный (угол H = 90° и HM = 16)

Значит углы HBM = HMB = 45°

Тогда угол AMB = 180 - 45 = 135

Обозначим угол ABH = x, тогда tg x = AH / BH = 48 / (64/3) = (48 * 3) / 64 = (3 * 3) / 4 = 9/4 = 2.25

x = arctg (2.25) ≈ 66°

Угол ABM = угол ABC - угол ABH = (90 - 37) - x = 53 - 66 = -13. Это значит, что точка M находится между точками H и C.

HM = AM - AH = 32 - 48 = -16, то есть HM = 16. Значит, что HM = HC.

Треугольник BHM прямоугольный и равнобедренный (угол H = 90° и HM = 16)

Значит углы HBM = HMB = 45°

Угол ABM = 37, то угол MBA = 37 - 45 = -8

угол A = 90 - 66 = 24, угол AMB = 180 - 37 - 24 = 119

Решение: Так как BH - высота, треугольник BHC - прямоугольный. Следовательно, BH = HC/tg37 = 16/0.75 = 64/3

Так как AM = MC, то AM = 32. HM = AH - AM = 48 - 32 = 16

В треугольнике BHM: tg угла BHM = BH/HM = (64/3)/16 = 4/3

Следовательно, угол BHM = arctg 4/3 = 53.13

Угол AMB = 180 - 53.13 = 126.87 ≈ 127

угол HMB смежный с углом AMB, значит угол AMB = 180-53=127