В треугольнике АВС пересекаются биссектрисы $$\angle A$$ и $$\angle B$$. Точка пересечения К соединена с третьей вершиной С. Определи $$\angle BCK$$, если $$\angle AKB = 105^{\circ}$$.

Решение:

В треугольнике ABC, AK и BK являются биссектрисами углов A и B соответственно. Точка K — точка пересечения этих биссектрис.

В треугольнике AKB, сумма углов равна 180°. Поэтому:

$$ \angle KAB + \angle KBA + \angle AKB = 180^{\circ} $$

Поскольку AK — биссектриса $$\angle A$$, то $$\angle KAB = \frac{1}{2} \angle A$$.

Поскольку BK — биссектриса $$\angle B$$, то $$\angle KBA = \frac{1}{2} \angle B$$.

Подставляем известные значения:

$$ \frac{1}{2} \angle A + \frac{1}{2} \angle B + 105^{\circ} = 180^{\circ} $$

$$ \frac{1}{2} (\angle A + \angle B) = 180^{\circ} - 105^{\circ} $$

$$ \frac{1}{2} (\angle A + \angle B) = 75^{\circ} $$

$$ \angle A + \angle B = 150^{\circ} $$

В треугольнике ABC, сумма углов также равна 180°:

$$ \angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ} $$

Подставляем найденное значение суммы $$\angle A + \angle B$$:

$$ 150^{\circ} + \angle C = 180^{\circ} $$

$$ \angle C = 180^{\circ} - 150^{\circ} $$

$$ \angle C = 30^{\circ} $$

CK — биссектриса угла C (так как K — точка пересечения биссектрис). Следовательно, CK делит угол C пополам:

$$ \angle BCK = \frac{1}{2} \angle C $$

$$ \angle BCK = \frac{1}{2} \cdot 30^{\circ} $$

$$ \angle BCK = 15^{\circ} $$

Ответ: $$\angle BCK = 15^{\circ}$$.