В треугольнике АВС, площадь которого равна 18, на стороне АС взята такая точка К, что AK: KC = 1: 3. Найдите площадь треугольника АВК.

Решение:

Площадь треугольника вычисляется по формуле: \( S = \frac{1}{2} × основание × высота \).

Рассмотрим треугольники АВК и ВСК. Они имеют общую высоту, проведённую из вершины В к основанию АС. Пусть эта высота равна \( h \).

Площадь треугольника АВС равна \( S_{ABC} = \frac{1}{2} × AC × h = 18 \).

По условию, \( AK : KC = 1 : 3 \). Это значит, что \( AC = AK + KC = 1x + 3x = 4x \), где \( x \) — некоторая величина.

Тогда \( AK = \frac{1}{4} AC \) и \( KC = \frac{3}{4} AC \).

Площадь треугольника АВК равна: \( S_{ABK} = \frac{1}{2} × AK × h = \frac{1}{2} × (\frac{1}{4} AC) × h \).

Вынесем \( \frac{1}{4} \) за скобки: \( S_{ABK} = \frac{1}{4} × (\frac{1}{2} × AC × h) \).

Заметим, что \( \frac{1}{2} × AC × h \) — это площадь всего треугольника АВС, которая равна 18.

Следовательно, \( S_{ABK} = \frac{1}{4} × S_{ABC} = \frac{1}{4} × 18 \).

Вычисляем: \( \frac{18}{4} = \frac{9}{2} = 4.5 \).

Ответ: Площадь треугольника АВК равна 4.5.