13. В треугольнике АВС проведена биссектриса АД, угол ALC равен 112%, угол АВС равен 106°. Найдите тал АСВ. Ответ дайте в градусах.

Пошаговое решение:

1. Рассмотрим треугольник ALC. Известно, что сумма углов в треугольнике равна 180°. Значит: \[\angle LAC = 180^\circ - \angle ALC - \angle ACL\]
2. Заметим, что угол \(\angle ACL\) это половина угла \(\angle ACB\), так как AL - биссектриса.
3. Рассмотрим треугольник ABC. Сумма углов в треугольнике равна 180°: \[\angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 180^\circ\]
4. Из условия задачи \(\angle ABC = 106^\circ\) и \(\angle ALC = 112^\circ\).
5. Выразим \(\angle LAC\) через \(\angle ACB\): \[\angle LAC = 180^\circ - 112^\circ - \frac{1}{2} \angle ACB = 68^\circ - \frac{1}{2} \angle ACB\]
6. Так как AL - биссектриса угла A, то \(\angle BAC = 2 \cdot \angle LAC\): \[\angle BAC = 2 \cdot (68^\circ - \frac{1}{2} \angle ACB) = 136^\circ - \angle ACB\]
7. Подставим известные значения в уравнение для углов треугольника ABC: \[136^\circ - \angle ACB + 106^\circ + \angle ACB = 180^\circ\]
8. Решим уравнение относительно \(\angle ACB\): \[242^\circ = 180^\circ\] Это неверно, значит нужно использовать другой подход. Угол \(\angle LAC\) связан с углом \(\angle ACB\) только через угол \(\angle ALC\).
9. Заметим, что \(\angle BAL\) смежный с \(\angle ALC\), значит \[\angle BAL = 180^\circ - 112^\circ = 68^\circ\]
10. Тогда угол \(\angle BAC = 2 \cdot \angle BAL = 2 \cdot 68^\circ = 136^\circ\)
11. Сумма углов треугольника ABC равна 180, значит: \[\angle ACB = 180^\circ - \angle BAC - \angle ABC = 180^\circ - 136^\circ - 106^\circ = -62^\circ\]
12. Снова получаем отрицательный угол, значит нужно исправить уравнение. Угол \(\angle ALC\) является внешним углом треугольника ABL, значит \[\angle ALC = \angle BAL + \angle ABC\] Подставим значения \[112^\circ = \angle BAL + 106^\circ\] Тогда \[\angle BAL = 112^\circ - 106^\circ = 6^\circ\]
13. Угол \[\angle BAC = 2 \cdot \angle BAL = 2 \cdot 6^\circ = 12^\circ\]
14. Тогда угол \[\angle ACB = 180^\circ - \angle BAC - \angle ABC = 180^\circ - 12^\circ - 106^\circ = 62^\circ\]

Ответ: 62