14.1. 1) В треугольнике АВС проведена биссектриса АК. Найдите угол В, если ∠C=33°, ∠AKC = 110°. 2) Внешний угол при основании равнобедренного треугольника равен 100°. Найдите угол при основании, не смежный с данным внешним углом. 14.2. 1) Отрезок ВК является биссектрисой треугольника АВС, ∠A = 68°, ∠ВКА = 81°. Найдите угол С треугольника. 2) Угол при основании равнобедренного треугольника равен 70°. Чему равен внешний угол при основании треугольника, не смежный с данным углом? 14.3. 1) В равнобедренном треугольнике АВС с основанием ВС ∠A = 54°. Найдите угол НВС, где ВН высота треугольника. 2) Внешний угол при основании равнобедренного треугольника на 20° больше одного из углов при основании треугольника. Найдите углы при основании. 14.4. 1) В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС ∠B = 64°. Найдите угол АМС, где СМ биссектриса треугольника.

14.1.

1)

Давай решим эту задачу по геометрии. Нам дан треугольник ABC, в котором AK - биссектриса, ∠C = 33° и ∠AKC = 110°. Наша задача - найти угол B.

Сначала найдем угол A в треугольнике AKC. Сумма углов в треугольнике равна 180°, поэтому:

\[∠KAC = 180° - ∠AKC - ∠C = 180° - 110° - 33° = 37°\]

Так как AK - биссектриса, то угол A в треугольнике ABC будет в два раза больше угла KAC:

\[∠A = 2 \cdot ∠KAC = 2 \cdot 37° = 74°\]

Теперь, когда мы знаем углы A и C в треугольнике ABC, мы можем найти угол B:

\[∠B = 180° - ∠A - ∠C = 180° - 74° - 33° = 73°\]

Ответ: ∠B = 73°

2)

В равнобедренном треугольнике внешний угол при основании равен 100°. Нужно найти угол при основании, не смежный с данным внешним углом.

Внешний угол и смежный с ним внутренний угол в сумме составляют 180°. Значит, внутренний угол при основании равен:

\[180° - 100° = 80°\]

Так как треугольник равнобедренный, углы при основании равны. Значит, угол при основании, не смежный с данным внешним углом, также равен 80°.

Ответ: 80°

14.2.

1)

В треугольнике ABC отрезок BK является биссектрисой, ∠A = 68°, ∠BKA = 81°. Наша задача - найти угол C треугольника.

Рассмотрим треугольник ABK. Сумма углов в треугольнике равна 180°, поэтому найдем угол ABK:

\[∠ABK = 180° - ∠A - ∠BKA = 180° - 68° - 81° = 31°\]

Так как BK - биссектриса, то угол B в треугольнике ABC будет в два раза больше угла ABK:

\[∠B = 2 \cdot ∠ABK = 2 \cdot 31° = 62°\]

Теперь, когда мы знаем углы A и B в треугольнике ABC, мы можем найти угол C:

\[∠C = 180° - ∠A - ∠B = 180° - 68° - 62° = 50°\]

Ответ: ∠C = 50°

2)

Угол при основании равнобедренного треугольника равен 70°. Чему равен внешний угол при основании треугольника, не смежный с данным углом?

Внешний угол и смежный с ним внутренний угол в сумме составляют 180°. Значит, внешний угол при основании равен:

\[180° - 70° = 110°\]

Ответ: 110°

14.3.

1)

В равнобедренном треугольнике ABC с основанием BC, ∠A = 54°. Нужно найти угол HBC, где BH - высота треугольника.

Так как треугольник ABC равнобедренный с основанием BC, то углы при основании равны:

\[∠B = ∠C = (180° - ∠A) / 2 = (180° - 54°) / 2 = 126° / 2 = 63°\]

Рассмотрим прямоугольный треугольник BHC, где BH - высота. В этом треугольнике ∠BHC = 90°. Тогда угол HBC равен:

\[∠HBC = 90° - ∠C = 90° - 63° = 27°\]

Ответ: ∠HBC = 27°

2)

Внешний угол при основании равнобедренного треугольника на 20° больше одного из углов при основании треугольника. Найдите углы при основании.

Пусть внутренний угол при основании равен x. Тогда внешний угол при основании равен x + 20°.

Внутренний и внешний угол в сумме составляют 180°:

\[x + (x + 20°) = 180°\] \[2x + 20° = 180°\] \[2x = 160°\] \[x = 80°\]

Значит, углы при основании равны 80°.

Ответ: 80°

14.4.

1)

В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC, ∠B = 64°. Найдите угол AMC, где CM - биссектриса треугольника.

Так как треугольник ABC равнобедренный с основанием AC, то углы при основании равны:

\[∠A = ∠C = (180° - ∠B) / 2 = (180° - 64°) / 2 = 116° / 2 = 58°\]

Так как CM - биссектриса, то угол ACM равен половине угла C:

\[∠ACM = ∠C / 2 = 58° / 2 = 29°\]

Теперь рассмотрим треугольник AMC. Сумма углов в треугольнике равна 180°, поэтому:

\[∠AMC = 180° - ∠A - ∠ACM = 180° - 58° - 29° = 93°\]

Ответ: ∠AMC = 93°

Ты отлично справился с этими задачами! Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!