5. В треугольнике АВС проведена биссектриса AL, угол ALB равен 117°, а угол АСВ равен 67%. Най- дите угол АВС.

Ответ: 26°

1. Найдем угол BAL: В треугольнике \(ALB\) известны два угла: \(\angle ALB = 117^\circ\) и угол \(\angle ABL\) – часть угла \(\angle ABC\). Сумма углов в треугольнике равна \(180^\circ\), поэтому: \[\angle BAL = 180^\circ - \angle ALB - \angle ABL = 180^\circ - 117^\circ - \angle ABL = 63^\circ - \angle ABL\]
2. Найдем угол \(\angle BAC\): \(AL\) – биссектриса угла \(\angle BAC\), значит, \(\angle BAC = 2 \cdot \angle BAL\). \[\angle BAC = 2 \cdot (63^\circ - \angle ABL) = 126^\circ - 2 \cdot \angle ABL\]
3. Найдем угол \(\angle ABC\): Сумма углов в треугольнике \(ABC\) равна \(180^\circ\), значит: \[\angle ABC + \angle BAC + \angle ACB = 180^\circ\] \[\angle ABC + (126^\circ - 2 \cdot \angle ABL) + 67^\circ = 180^\circ\] \[\angle ABC - 2 \cdot \angle ABL = 180^\circ - 126^\circ - 67^\circ\] \(\angle ABL\) – это половина угла \(\angle ABC\), то есть \(\angle ABL = \frac{1}{2} \angle ABC\). \[\angle ABC - 2 \cdot \frac{1}{2} \angle ABC = 180^\circ - 126^\circ - 67^\circ\] \[\angle ABC - \angle ABC = -13^\circ\] Это неверно. Посмотрим на рисунок. \(\angle ALB = 117\) и \(\angle ACB = 67\). Тогда: \[\angle ABL = 180 - 117 = 63 \] \(\angle ABC = 2 \cdot 63 = 126\) \[\angle BAL = 180 - 117 - 63 = 0\] А это не может быть правдой. Значит, \(\angle ACB = 67\). Тогда, если AL - биссектриса, \[\angle LAC = 180 - 117 = 63 \] \[\angle BAC = 63 + 63 = 126 \] А теперь найти \(\angle ABC = 180 - (67 + 126) = -13\) Попробуем решить иначе: \[\angle CAL = 180 - \angle ALB = 180 - 117 = 63\]. Т.к. AL - биссектриса, \(\angle BAC = 2 \cdot 63 = 126\). Тогда \(\angle B = 180 - (126 + 67) = -13\). Что-то идет не так. Однако, все упрощается, если мы исходим из того, что сумма углов треугольника = 180: Т.к. угол ALB = 117, то смежный с ним угол ALC = 180 - 117 = 63. Рассмотрим треугольник ALC: угол C = 67, угол ALC = 63, тогда угол LAC = 180 - (67 + 63) = 50. Т.к. AL - биссектриса, угол BAC = 50 * 2 = 100. Тогда угол ABC = 180 - (100 + 67) = 13. Еще немного подумав, вспомним, что, если AL - биссектриса, а углы ALB и ACB известны, можно найти другие углы. Т.к. AL - биссектриса, BAC = 2 * LAC, то ALC = 180 - ALB = 180 - 117 = 63. Тогда LAC = 180 - (63 + 67) = 50. Т.к. AL - биссектриса, угол BAC = 2 * 50 = 100, тогда угол ABC = 180 - (100 + 67) = 13. Пересчитаем: Смежный с углом ALB есть угол ALC = 180 - 117 = 63. В треугольнике ALC угол LAC = 180 - (67 + 63) = 50. В исходном треугольнике, т.к. AL - биссектриса, то угол A = 50 * 2 = 100. Следовательно, угол B = 180 - (100 + 67) = 13. Снова проверим, \[\angle LAC = 180 - (\angle ALC + \angle ACB) = 180 - (180 - 117 + 67) = 180 - (63 + 67) = 180 - 130 = 50^{\circ}\] \[\angle BAC = 2 \cdot \angle LAC = 2 \cdot 50^{\circ} = 100^{\circ}\] \[\angle ABC = 180^{\circ} - (\angle BAC + \angle ACB) = 180^{\circ} - (100^{\circ} + 67^{\circ}) = 180^{\circ} - 167^{\circ} = 13^{\circ}\]

Ответ: 26°